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Energie

Quantitative Betrachtungen - Arbeit

Wir haben bereits festgestellt, dass die Energie, die man benötigt, um einen Körper der Masse m um eine Höhe h anzuheben, proportional zur Masse und zur Höhe ist. Auf ähnliche Art und Weise haben wir eine entsprechende Aussage für die kinetische Energie erhalten.

Im Folgenden versuchen wir, diese Aussagen zu verallgemeinern, um Gesetzmäßigkeiten zu erhalten, die in derselben Form für verschiedene Energieformen gültig sind. Dazu wird der Begriff der Arbeit eingeführt.

Kran

Wir betrachten noch einmal das Beispiel, bei dem ein Körper der Masse m um eine Höhe h angehoben wird. Diesmal richten wir unser Augenmerk jedoch stärker auf die dabei wirkenden Kräfte.

Abb.1

Der Kran soll eine Kiste mit konstanter Geschwindigkeit anheben. Den kurzen Moment am Anfang, in dem die Kiste auf diese Geschwindigkeit beschleunigt wird, wollen wir hier außer Acht lassen. Danach muss der Kran eine Kraft F Zug aufbringen, deren Betrag genauso groß ist wie die Gewichtskraft F G der Kiste, aber in entgegengesetzte Richtung zeigt, nämlich nach oben. Die Gesamtkraft auf die Kiste ist null, so dass sie sich gleichförmig nach oben bewegt.

Wir wissen bereits, dass die Energie Δ E , die man benötigt, um die Kiste um eine Höhe h anzuheben, proportional zu deren Masse ist. Wir gehen nun einen Schritt weiter und stellen fest, dass die Energie somit auch proportional zum Betrag der vom Kran aufgewendeten Kraft F Zug ist, da dieser wiederum genauso groß ist wie der Betrag der Gewichtskraft F G = m g .

Wir sagen: Der Kran hat an dem System Kiste-Erde die Arbeit W verrichtet und dadurch dessen Energie um Δ E vergrößert.

Δ E = W F Zug h

Per Definition wird ein Proportionalitätsfaktor von 1 eingesetzt, so dass gilt:

W = F Zug h = F G h

Im obigen Beispiel ist also die potenzielle Energie proportional zur Höhe, um die die Kiste angehoben wird, sowie zur aufgewendeten Kraft. Nun wissen wir jedoch, dass Kraft und Weg Vektoren sind. Die Frage ist also, ob es sich mit dem Energieaufwand genauso verhält, wenn Kraft und Weg nicht - wie im obigen Beispiel - in dieselbe Richtung zeigen.

Kiste schieben

Nun soll die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit eine schiefe Ebene hinauf bewegt werden (reibungsfrei). Welche Arbeit ist hierfür notwendig? Im Gegensatz zum Kranbeispiel wird die Kiste nun nicht in Richtung der Gewichtskraft verschoben, sondern schräg dazu.

Abb.2

Auf die Kiste wirken deren Gewichtskraft F G nach unten sowie die entgegengesetzt gleich große Zugkraft F Zug nach oben. Die Geschwindigkeit der Kiste ist konstant und zeigt in Richtung der Ebene - sie bewegt sich also gleichförmig den Weg s die Ebene entlang nach oben. Wir zerlegen das Wegstück s in eine Komponente senkrecht und parallel zur Gewichtskraft.

Abb.3

Am Beispiel des Krans haben wir bereits gesehen, dass die Arbeit W = F Zug h zu verrichten ist, um die Kiste auf die Höhe h anzuheben. Die Höhe entspricht hier dem Betrag des Wegstücks s in Richtung der Gewichtskraft, so dass gilt:

W = F Zug s

Entlang dem horizontalen Wegstück s hingegen muss keine Arbeit verrichtet werden, solange die Reibung vernachlässigbar ist.

Die aufzuwendende Arbeit ist also nicht proportional zum Weg s , sondern zum Wegstück s in Kraftrichtung.

Theorem
Um das Produkt von Kraft und Weg in Kraftrichtung zu erhalten, muss man nicht jedes mal eine Komponentenzerlegung durchführen - es gibt dafür ein mathematisches Hilfsmittel: das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt F s projiziert den Ortsvektor s auf die Kraftrichtung F . Somit gilt:
W = F s
Mathematisch betrachtet ist es gleichbedeutend zu sagen, das Skalarprodukt F s projiziert den Kraftvektor F auf die Wegrichtung s . Dies führt zu der geläufigen Aussage: "Arbeit ist gleich Kraft (in Wegrichtung) mal Weg."
Kiste auf unebenem Hang

In diesem Beispiel ist der Hang uneben. Die aufzuwendende Kraft ist von der Steigung abhängig und somit vom Weg, d.h. F = F ( s ) .

Abb.4

Man behilft sich in diesem Fall, indem man den Weg in kleine, gerade Teilstücke Δ s unterteilt, entlang denen die Kraft jeweils konstant ist. Für die gesamte am Körper verrichtete Arbeit entlang dem Weg s = Δ s 1 + Δ s 2 + ... gilt dann:

W = i Δ W i = F 1 Δ s 1 + F 2 Δ s 2 + ... = i F i Δ s i

Der Grenzübergang für infinitesimal kleine Wegstücke führt auf:

W = F d s
Arbeit (Energie)
Wird ein Körper entlang einem Weg s bewegt und muss dafür die Kraft F aufgewendet werden, so beträgt die dafür zu verrichtende Arbeit (Energie):
W = F d s
Dies gilt für jede Kraft F , nicht nur für die Gewichtskraft.
Wegunabhängigkeit der Arbeit

Wir betrachten das Beispiel mit der Kiste, die den Hang hinaufbewegt wird, noch einmal genauer und vergleichen den Weg entlang der schiefen Ebene mit dem entlang des unebenen Hangs. Das Bild zeigt jeweils einen Ausschnitt des Weges. Der unebene Hang ist unterteilt in einzelne, kleine Geradenstücke. Die vertikalen Wegstücke sind jetzt mit dem Buchstaben y benannt und die horizontalen mit x .

Abb.5

Die zu verrichtende Arbeit, um einen Körper mit der Gewichtskraft vom Betrag F G den linken Weg hinaufzubringen, ist:

W links = F G y

Auf dem rechten Weg ist die Arbeit:

W rechts = F G y 1 F G y 2 F G y 3 = F G ( y 1 + y 2 + y 3 ) = F G y

Solange keine Reibungskräfte wirken, und somit die Arbeit entlang der horizontalen Wegstrecken null ist, ist die Arbeit, um den Körper auf die Höhe y zu bringen, auf dem linken Weg gleich groß wie auf dem rechten.

Theorem
Die Arbeit, die benötigt oder gewonnen wird, wenn ein Körper im Potentialfeld der Erde (reibungsfrei) vom Ort A zum Ort B gebracht wird, ist unabhängig von der Geometrie des Weges zwischen A und B.
Körperliches Empfinden von Arbeit

Wir haben gelernt, dass Energie aufgewendet werden muss, um einen Körper anzuheben, aber nicht, um ihn waagerecht zum Erdboden zu bewegen. Warum empfinden wir es dennoch als Arbeit, einen Koffer auf waagerechter Straße zu tragen oder auch nur in konstanter Höhe festzuhalten?

  1. Bei den bisherigen Beispielen haben wir die Reibungskräfte der Einfachheit halber als vernachlässigbar gering angenommen. Tatsächlich treten aber im "wirklichen Leben" immer Reibungskräfte auf. Alleine beim Laufen gibt es Reibungskräfte in der Bewegungsrichtung, gegen die Arbeit verrichtet werden muss.
  2. Das Halten eines Koffers ist mikroskopisch betrachtet (Muskeln etc.) ein dynamischer Vorgang, d.h. der Mensch ist kein starres Gerüst. Zum Vergleich stellen wir uns eine Kiste vor, die per Motorkraft in einer bestimmten Höhe gehalten werden soll (Kran). Dieser Motor habe nun keine Arretierung, d.h. wenn er ausgeschaltet wird, sinkt die Kiste aufgrund ihrer Gewichtskraft wieder nach unten. Der Motor muss also ständig eine Hubkraft liefern, die dadurch bewirkt wird, dass fortwährend ein elektrischer Strom fließt, d.h. Energie aus der elektrischen Spannngsquelle entnommen wird, obwohl sich die Kiste nicht wegbewegt. Beim Kofferhalten wird chemische Energie in den Muskeln umgesetzt.
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