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Begründung

a) Die angegebene Gleichung leiten wir mit Hilfe des Impuls- und Energieerhaltungssatzes her. Durch Betrachten der Situation vor dem Stoß und nach dem Stoß erhält man die folgenden beiden Gleichungen:

1 2 m 1 v 1 2 = 1 2 m 1 v 1 ´ ² + 1 2 m 2 v 2 ´ ²
m 1 v 1 = m 1 v 1 ´ + m 2 v 2 ´

Nun dividieren wir beide Seiten beider Gleichungen durch m 1 und bringen auf diese Weise das Massenverhältnis k ins Spiel. Wir erhalten also (nach Kürzen):

v 1 ² = v 1 ´ ² + k v 2 ´ ²
v 1 = v 1 ´ + k v 2 ´

Nun lösen wir die zweite Gleichung nach v 2 ´ auf und setzen diese in die erste Gleichung ein und erhalten so:

v 1 ² = v 1 ´ ² + ( v 1 v 1 ´ ) ² k

Dann bringen wir v 1 ´ ² auf die andere Seite und erhalten nach Kürzen mit Hilfe der dritten binomischen Formel:

( v 1 + v 1 ´ ) = v 1 v 1 ´ k .

Lösen wir diese Gleichung nach v 1 ´ auf, so erhalten wir die gesuchte Beziehung:

v 1 ´ = v 1 ( 1 k ) 1 + k

b) Da der Stoß in einem abgeschlossenen System stattfindet, in dem also keine anderen Kräfte von außen wirken, können wir den Impulserhaltungssatz zur Berechnung der noch fehlenden Geschwindigkeit anwenden. Dieser besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß ist. Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse. Daher gilt also:

m 1 v 1 + 0 = m 1 v 1 ´ + m 2 v 2 ´

Mit der bekannten Geschwindigkeit v 1 ´ = v 1 ( 1 k ) 1 + k erhalten wir in obiger Gleichung und nach Umformen:

m 1 v 1 = m 1 v 1 1 - k 1 + k + m 2 v 2 ´ v 2 ´ = v 1 ( 1 k - 1 k 1 - k 1 + k ) v 2 ´ = 2 v 1 1 + k

Somit gelten für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß folgende Gleichungen:

v 1 ´ = v 1 ( 1 k ) 1 + k        v 2 ´ = 2 v 1 1 + k

c) Sind beide am Stoß beteiligten Massen gleich groß, so erhalten wir mit k = 1 Folgendes:

v 1 ´ = 0        v 2 ´ = v 1

D.h. in diesem Fall wird der gesamte Impuls von Masse 1 auf Masse 2 übertragen. Die Massen tauschen sozusagen die Geschwindigkeiten.

d) Für das Massenverhältnis k = m 2 m 1 = 2 erhalten wir:

v 1 ´ = 1 3 v 1        v 2 ´ = 2 3 v 1

Die leichte Masse prallt also mit 1 3 ihrer Geschwindigkeit zurück und bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung, während die schwere Masse auf 2 3 v 1 beschleunigt wird. Betrachten wir nun das umgekehrte Massenverhältnis k = 1 2 , so bekommen wir:

v 1 ´ = 1 3 v 1        v 2 ´ = 4 3 v 1

Wir sehen, dass sich in diesem Fall die leichte Masse mit größerer Geschwindigkeit wegbewegt als die große Masse vor dem Stoß hatte.

Bemerkung
Bei elastischen Stößen mit Massen m 1 und m 2 der Geschwindigkeiten v 1 und v 2 vor dem Stoß und v 1 ´ und v 2 ´ nach dem Stoß kann man auch mit Hilfe des Impuls- und des Energieerhaltungssatzes eine interessante Gleichung ermitteln. Es gilt:
v 2 ´ - v 1 ´ = ( v 2 v 1 ) .
Wir haben also eine Aussage über das Verhältnis der relativen Geschwindigkeiten der Masse 2, von Masse 1 aus gesehen. Der Term ( v 2 v 1 ) ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Massen einander nähern, und der Term v 2 ´ - v 1 ´ ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Massen voneinander fortbewegen.