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Rutherford'sches Atommodell

Rutherford-Streuung

Grundannahmen

Um exakte Ergebnisse zu erhalten, mussten Geiger und Marsden die oben bereits erwähnten Streumessungen jahrelang fortsetzten. Ihre Resultate bestätigten schließlich die Grundannahmen des Rutherford'schen Atommodells, denn Rutherford konnte unter Zugrundelegung seines Modells eine Formel ableiten, die das beobachtete Streuverhalten richtig vorhersagt. Zur Herleitung dieser Streuformel werden folgende vereinfachende Annahmen gemacht:

  • Sowohl der Atomkern als auch das Alpha-Teilchen sind punktförmig.
  • Die Abschirmung der Kernladung durch die Elektronen kann vernachlässigt werden, da die ausschlaggebende Ablenkung der Alpha-Teilchen tief im Atominneren stattfindet.
  • Zwischen Streuteilchen und Kern mit Ladungszahl Z findet nur elektrostatische Wechselwirkung statt. Für das elektrische Feld E gilt also E = 1 4 π ε 0 Z e r 3 r .
  • Der Kern ruht beim Streuvorgang. Diese Vereinfachung ist sinnvoll, da die Masse M eines schweren (Gold-)Kerns viel größer als die Masse m des Alpha-Teilchens ist, so dass man M setzen kann.
  • Die Alpha-Teilchen werden nur einmal gestreut

Ableitung der Streuformel

Zur Berechnung der Abhängigkeit des Streuwinkels ϑ vom Stoßparameter b , der Anfangsgeschwindigkeit v 0 des Alpha-Teilchens, der Ladung 2 e des Alpha-Teilchens und der Ladung Z e des Streuteilchens benutzt man den Energieerhaltungssatz und den Drehimpulserhaltungssatz (Zentralkraftproblem mit F r 2 ).

Abb.1

Es ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel ϑ und Stoßparameter b : b = Z e 2 4 π ε 0 1 1 2 m v 0 2 cot ( ϑ / 2 )

Beim Experiment nimmt der Szintillationszähler S von der Folie F aus gesehen stets den Raumwinkel d Ω ein und wird in einer Ebene (hier angedeutet durch den Ring R) geschwenkt (Abbildung 5). Alle unter dem Winkel d ϑ abgelenkten Teilchen fliegen durch das Raumwinkelelement d Ω 1 . Der Szintillationszähler stellt aber nur einen Ausschnitt aus dieser Kreisfläche dar.

Abb.2
Nur die unter dem Winkel ϑ in den Raumwinkel d Ω abgelenkten Alpha-Teilchen werden tatsächlich registriert.

Es werden also von all den Teilchen mit Streuwinkel ϑ nur jeweils diejenigen registriert, die auch noch in den Raumwinkel d Ω (Szintillationszähler) abgelenkt werden. Aus weiteren Überlegungen ergibt sich, dass die Anzahl der gestreuten Teilchen proportional zur Dicke D und zur Atomkonzentration N der Streufolie ist. Berücksichtigt man dies alles, so erhält man nach etwas längerer Rechnung die so genannte Rutherford'sche Streuformel, die das Verhältnis der in einem Raumwinkel d Ω unter dem Winkel ϑ registrierten Alpha-Teilchenzahl d n zur Gesamtanzahl n der von der radioaktiven Quelle ausgesendeten Teilchen angibt: d n ( ϑ , d Ω ) n = Z 2 e 4 D N ( 4 π ε 0 ) 2 m 2 v 0 4 sin 4 ( ϑ / 2 ) d Ω mit Z : Kernladungszahl des Streukerns; m : Masse des Alpha-Teilchens; e : Elementarladung; v : Geschwindigkeit des Alpha-Teilchens; D : Dicke der Streufolie; ϑ : Streuwinkel; N : Atomkonzentration in der Folie (Atome pro m 3 )

Der Bruchteil d n ( ϑ , d Ω ) / n der unter dem Winkel ϑ auf den Schirm abgelenkten Teilchen ist also proportional zum Quadrat der Kernladungszahl, aber indirekt proportional zum Quadrat der kinetischen Energie. Die sin 4 ( ϑ / 2 ) -Abhängigkeit im Nenner ist charakteristisch für die Streuung an einem 1 / r -Potential (hier speziell: Coulomb-Potential).

Arbeitsauftrag

Mit dem JPAKMA-Projekt können Sie für verschiedene Kernladungszahlen und Energien der Alpha-Teilchen den Streuprozess mit beliebigen Stoßparametern verfolgen. Die Simulation berücksichtigt bei der Berechnung der Flugbahnen nur die elektrostatische Abstoßung zwischen Alpha-Teilchen und Atomkern.

Aussehen der Flugbahnen: Starten Sie das Projekt und lassen Sie sich verschiedene Flugbahnen zeichnen. Wie ändern sich die Flugbahnen bei Variation der Energie der Alpha-Teilchen bzw. Veränderung der Kernladungszahl? Benutzen Sie verschiedene Zeichenfarben und Strichdicken, um die Unterschiede deutlich zu machen.

Abschätzen des Kernradius: Stellen Sie die Energie des Alpha-Teilchens auf 5 MeV ein, wählen Sie die Kernladungszahl 79 und versuchen Sie einen Streuwinkel von ϑ = 150 ° zu erzeugen. Wie nahe kommt das Teilchen dem Ladungszentrum? Welche Abschätzung kann man für den Kernradius erhalten, wenn man weiß, dass die experimentellen Ergebnisse für diese Alpha-Teilchen noch mit den von der Streuformel vorhergesagten Ergebnissen übereinstimmen? Den minimalen Abstand Alpha-Teilchen - Streuzentrum können Sie mit dem Hilfsmittel "Kreisradius" bestimmen.

Abb.3
JPAKMA-Projekt "Rutherford-Streuung"

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