Mehrfachregression

Bei der linearen Mehrfachregression betrachten wir die Beziehung zwischen einer abhängigen Variable $\mathit{y}$ und mehreren unabhängigen Variablen ${\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,\dots ,{\mathit{x}}_{\mathit{p}}$. Die allgemeine lineare Mehrfachregressionsfunktion lautet

$$\begin{array}{rcl}\hat{\mathit{y}}& =& {\mathit{a}}_{11}{\mathit{g}}_{11}({\mathit{x}}_1)+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{g}}_{12}({\mathit{x}}_1)+\dots +{\mathit{a}}_{1\mathit{n}}{\mathit{g}}_{1\mathit{n}}({\mathit{x}}_1)+\\ & & {\mathit{a}}_{21}{\mathit{g}}_{21}({\mathit{x}}_2)+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{g}}_{22}({\mathit{x}}_2)+\dots +{\mathit{a}}_{2\mathit{n}}{\mathit{g}}_{2\mathit{n}}({\mathit{x}}_2)+\\ & & ⋮\\ & & {\mathit{a}}_{\mathit{p}1}{\mathit{g}}_{\mathit{p}1}({\mathit{x}}_{\mathit{p}})+{\mathit{a}}_{\mathit{p}2}{\mathit{g}}_{\mathit{p}2}({\mathit{x}}_{\mathit{p}})+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{p}\mathit{n}}{\mathit{g}}_{\mathit{p}\mathit{n}}({\mathit{x}}_{\mathit{p}}).\end{array}$$

Die Behandlung der Mehrfachregression wird durch die Matrixschreibweise wesentlich vereinfacht und erfolgt genauso wie bei der einfachen Regression. In der Matrixdarstellung lautet das Regressionsmodell

$$\mathit{y}=\mathit{G}\mathit{a}+\mathit{e}.$$

Die Lösung der kleinsten Quadrate $\hat{\mathit{a}}$ von ist durch die Normalgleichungen bestimmt

$${\mathit{G}}^{\text{T}}\mathit{G}\hat{\mathit{a}}={\mathit{G}}^{\text{T}}\mathit{y}.$$