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Lineare Regression

Kovarianz der Regressionskoeffizienten

Gegeben sei eine Regressionsfunktion

\hat{y} = a_{1} + a_{2} x .

Sind die Regressionskoeffizienten $a_{1}$ und $a_{2}$ voneinander abhängig, dann muss die Kovarianz $cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2})$ bei der Fehlerschätzung der Regressionskoeffizienten ${\hat{a}}_{1}$ und ${\hat{a}}_{2}$ berücksichtigt werden. Die Kovarianzmatrix

C = (\begin{array}{rr} S^{2} ({\hat{a}}_{1}) & cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2}) \\ cov ({\hat{a}}_{2}, {\hat{a}}_{1}) & S^{2} ({\hat{a}}_{2}) \end{array})

ist mit der inversen Normalmatrix ${(G^{T} G)}^{-1}$ wie folgt verwand.t

C = s^{2} (y) {(G^{T} G)}^{-1}

Dabei ist

s^{2} (y) = \frac{m}{m -2} σ^{2} (y) = \frac{1}{m -2} \sum_{i = 1}^{m} e_{i}^{2} = \frac{1}{m -2} \sum_{i = 1}^{m} {(y_{i} - {\hat{a}}_{1} - {\hat{a}}_{2} x_{i})}^{2}

die beste Schätzung der Varianz einer einzelnen Messung $y_{i}$ und

{(G^{T} G)}^{-1} = \frac{1}{m \sum_{i = 1}^{m} x_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{m} x_{i})}^{2}} (\begin{array}{rr} \sum_{i = 1}^{m} x_{i}^{2} & - \sum_{i = 1}^{m} x_{i} \\ - \sum_{i = 1}^{m} x_{i} & m \end{array}) .

Die Diagonalelemente der symmetrischen Matrix $C$ ergeben die Quadratfehler (Varianzen) der Regressionskoeffizienten der kleinsten Quadrate, die nicht-diagonalen Elemente ergeben die Kovarianzen.

Beispiel

Die BET-Isotherme für die Adsorption eines Materials auf einer Oberfläche ergibt folgende lineare Beziehung der Form mit $z$ als unabhängige und $z / (1 - z) V$ als abhängige beobachtete Variable

\frac{z}{(1 - z) V} = \frac{1}{c V_{mon}} + \frac{(c - 1)}{c V_{mon}} \cdot z,

wobei $z = p / p^{*}$ ist ( $p =$ Gleichgewichtsdruck, $p^{*} =$ Dampfdruck der kompakten Flüssigkeit, $V =$ Volumen des adsorbierten Materials, $V_{mon} =$ Volumen des adsorbierten Materials für ein mit einer Monoschicht bedecktes Substrat, $c = k_{a} k'_{d} / (k'_{a} k_{d})$ , $k_{a}$ bzw. $k_{d}$ sind die Geschwindigkeitskonstanten für die Adsorption bzw. Desorption der ersten Schicht und $k'_{a}$ bzw. $k'_{d}$ sind diejenigen für die anderen Schichten).

Aus den Regressionskoeffizienten

{\hat{a}}_{1} = \frac{1}{c V_{mon}} und {\hat{a}}_{2} = \frac{(c - 1)}{c V_{mon}}

erhält man die gesuchten Parameter

c = 1 + \frac{{\hat{a}}_{2}}{{\hat{a}}_{1}} und V_{mon} = \frac{1}{{\hat{a}}_{1} + {\hat{a}}_{2}} .

Aus entnimmt man, dass die Regressionskoeffizienten voneinander abhängig sind, womit $cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2})$ zur Fehlerberechnung der Parameter $c$ und $V_{mon}$ benötigt wird. Die Fehler $S (c)$ und $S (V_{mon})$ sind mit den Varianzen (Quadratfehlern) $S^{2} ({\hat{a}}_{1})$ und $S^{2} ({\hat{a}}_{2})$ und der Kovarianz $cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2})$ folgendermaßen verwandt.

\begin{array}{rcl} S^{2} (c) & = & {(\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{1}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{1}) + {(\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{2}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{2}) \\ + 2 (\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{1}}) (\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{2}}) cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2}) \\ S^{2} (V_{mon}) & = & {(\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{1}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{1}) + {(\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{2}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{2}) \\ + 2 (\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{1}}) (\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{2}}) cov ({\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2}) \end{array}

Mittels berechnet man die partiellen Ableitungen.

\begin{array}{rclrcl} (\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{1}}) & = & - \frac{{\hat{a}}_{2}}{{\hat{a}}_{1}^{2}} & (\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{2}}) & = & \frac{1}{{\hat{a}}_{1}} \\ (\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{1}}) & = & - \frac{1}{({\hat{a}}_{1} + {\hat{a}}_{2})^{2}} & (\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{2}}) & = & - \frac{1}{({\hat{a}}_{1} + {\hat{a}}_{2})^{2}} \end{array}

Ohne Berücksichtigung der Kovarianz wären die Quadratfehler

\begin{array}{rcl} S^{2} (c) & = & {(\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{1}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{1}) + {(\frac{\partial c}{\partial {\hat{a}}_{2}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{2}) \\ und \\ S^{2} (V_{mon}) & = & {(\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{1}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{1}) + {(\frac{\partial V_{mon}}{\partial {\hat{a}}_{2}})}^{2} S^{2} ({\hat{a}}_{2}) . \end{array}

Die folgenden $p$ - und $V$ -Werte wurden gemessen:

Tab.1: Messwerte ( $p^{*} = 760 mbar$ )

$p / mbar$	$V / {cm}^{3}$	$z$	$\frac{z}{(1 - z) V} / {cm}^{-3}$
1,694067	570,851392	0,002229	3,913480e-06
18,1441	718,996689	0,023874	3,401645e-05
61,788776	884,728664	0,081301	0,000100
108,254883	906,710611	0,142441	0,000183
161,082263	1054,579357	0,21195	0,000255
218,95872	1183,418317	0,288104	0,000342
237,649999	1220,075896	0,312697	0,000373