Lineare Regression
Kovarianz der Regressionskoeffizienten
Gegeben sei eine Regressionsfunktion
Sind die Regressionskoeffizienten und voneinander abhängig, dann muss die Kovarianz bei der Fehlerschätzung der Regressionskoeffizienten und berücksichtigt werden. Die Kovarianzmatrix
ist mit der inversen Normalmatrix wie folgt verwand.t
Dabei ist
die beste Schätzung der Varianz einer einzelnen Messung und
Die Diagonalelemente der symmetrischen Matrix ergeben die Quadratfehler (Varianzen) der Regressionskoeffizienten der kleinsten Quadrate, die nicht-diagonalen Elemente ergeben die Kovarianzen.
Beispiel
Die BET-Isotherme für die Adsorption eines Materials auf einer Oberfläche ergibt folgende lineare Beziehung der Form mit als unabhängige und als abhängige beobachtete Variable
wobei ist ( Gleichgewichtsdruck, Dampfdruck der kompakten Flüssigkeit, Volumen des adsorbierten Materials, Volumen des adsorbierten Materials für ein mit einer Monoschicht bedecktes Substrat, , bzw. sind die Geschwindigkeitskonstanten für die Adsorption bzw. Desorption der ersten Schicht und bzw. sind diejenigen für die anderen Schichten).
Aus den Regressionskoeffizienten
erhält man die gesuchten Parameter
Aus entnimmt man, dass die Regressionskoeffizienten voneinander abhängig sind, womit zur Fehlerberechnung der Parameter und benötigt wird. Die Fehler und sind mit den Varianzen (Quadratfehlern) und und der Kovarianz folgendermaßen verwandt.
Mittels berechnet man die partiellen Ableitungen.
Ohne Berücksichtigung der Kovarianz wären die Quadratfehler
Die folgenden - und -Werte wurden gemessen:
- Tab.1
- Messwerte ()
1,694067 | 570,851392 | 0,002229 | 3,913480e-06 |
18,1441 | 718,996689 | 0,023874 | 3,401645e-05 |
61,788776 | 884,728664 | 0,081301 | 0,000100 |
108,254883 | 906,710611 | 0,142441 | 0,000183 |
161,082263 | 1054,579357 | 0,21195 | 0,000255 |
218,95872 | 1183,418317 | 0,288104 | 0,000342 |
237,649999 | 1220,075896 | 0,312697 | 0,000373 |
Die für die Tabellendaten berechneten Regressionskoeffizienten sind
Die Kovarianzmatrix ist
Die Fehler der Regressionskoeffizienten sind
Mittels und sind
Die Parameterfehler ohne Kovarianz sind gemäß
Die Fehler der Parameter mit Kovarianz sind gemäß
In diesem Fall sind die Unterschiede zwischen und klein, doch das Beispiel veranschaulicht das Konzept.