zum Directory-modus

Lineare Regression

Beispiel

Wir betrachten eine einfache lineare Regressionsfunktion der Form

y ^ = a 1 g 1 ( x ) + a 2 g 2 ( x ) ,

mit g 1 ( x ) = 1 , g 2 ( x ) = x und m vorgegebenen Wertepaaren ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , , m . Die Matrix G lautet

G = 1 x 1 1 x 2 1 x m .

Die Normalmatrix ist dann

G T G = 1 1 1 x 1 x 2 x m 1 x 1 1 x 2 1 x m = m i = 1 m x i i = 1 m x i i = 1 m x i 2 .

Ebenso ist

G T y = 1 1 1 x 1 x 2 x m y 1 y 2 y m = i = 1 m y i i = 1 m x i y i .

Daraus ergeben sich die Normalgleichungen

G T G a ^ = G T y m i = 1 m x i i = 1 m x i i = 1 m x i 2 a ^ 1 a ^ 2 = i = 1 m y i i = 1 m x i y i ,

der Lösungsvektor

a ^ = G T G -1 G T y

und die inverse Normalmatrix

G T G -1 = 1 m i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i 2 i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i - i = 1 m x i m .

Somit ist

a ^ 1 a ^ 2 = 1 m i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i 2 i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i - i = 1 m x i m i = 1 m y i i = 1 m x i y i ,

woraus

a ^ 1 = i = 1 m x i 2 i = 1 m y i - i = 1 m x i i = 1 m x i y i m i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i 2 a ^ 2 = m i = 1 m x i y i - i = 1 m x i i = 1 m y i m i = 1 m x i 2 - i = 1 m x i 2

folgt.

Seite 2 von 4