Perfekte Korrelation

Für perfekte Korrelationen (kein Punkt weicht von der Regressionsgerade ab) gilt:

$${\hat{\mathit{a}}}_2=\frac{1}{{\hat{\mathit{a}}}_2^{*}}\text{und}\mathit{S}({\hat{\mathit{a}}}_2)=\mathit{S}({\hat{\mathit{a}}}_2^{*})=0.$$

Nach Gleichungen und ist erfüllt, wenn

$$\begin{array}{rcl}\frac{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}}{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}& =& \frac{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}}\\ \text{und}\\ \frac{(1-{\mathit{r}}^2)\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}& =& \frac{(1-{\mathit{r}}^2)\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2}=0\end{array}$$

gilt. Geht man davon aus, dass

$$\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2\ne 0\text{und}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2\ne 0,$$

dann folgt

$$1-{\mathit{r}}^2=0\text{oder}\mathit{r}=\pm 1.$$

Eine perfekte Korrelation liegt also vor, wenn

$$\mathit{r}=\frac{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}}{{\left(\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}^2\right)}^{1/2}}=\pm 1$$

ist.

Nichtvorhandensein einer Korrelation

Besteht zwischen $\mathit{x}$ und $\mathit{y}$ keine Beziehung, dann gilt

$$\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}\mathit{y}{\text{'}}_{\mathit{i}}=0.$$

Gilt , dann folgt aus

$$\mathit{r}=0.$$

Aus Gleichungen und folgt weiter

$${\hat{\mathit{a}}}_2=0\text{und}{\hat{\mathit{a}}}_2^{*}=0,$$

d.h. die Regressionsgeraden fallen mit der $\mathit{x}$- bzw. $\mathit{y}$-Achse zusammen.

Korrelationsgrad

Aus , und folgt

$${\hat{\mathit{a}}}_2{\hat{\mathit{a}}}_2^{*}={\mathit{r}}^2$$

und

$$\frac{\mathit{S}({\hat{\mathit{a}}}_2)}{{\hat{\mathit{a}}}_2}=\frac{\mathit{S}({\hat{\mathit{a}}}_2^{*})}{{\hat{\mathit{a}}}_2^{*}}={\left[\frac{(1-{\mathit{r}}^2)}{(\mathit{m}-2){\mathit{r}}^2}\right]}^{1/2},$$

wobei

$$0\le |\mathit{r}|\le 1$$

gilt. Je größer der Wert von $|\mathit{r}|$ ist, desto geringer wird die Streuung der Punkte um die Regressionsgerade; um so größer wird das Vertrauen sein, dass die Beziehung mit den Daten konform ist.

In den Koordinaten $\mathit{x}$ und $\mathit{y}$ ist $\mathit{r}$ gegeben durch

$$\mathit{r}=\frac{\mathit{m}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}}-\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}}}{{\left[\mathit{m}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}^2-{\left(\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\right)}^2\right]}^{1/2}{\left[\mathit{m}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}}^2-{\left(\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{y}}_{\mathit{i}}\right)}^2\right]}^{1/2}}.$$

Abb.1

$\mathit{r}=\mathrm{0,9441463844}$

Abb.2

$\mathit{r}=\mathrm{0,4451685447}$

Zerlegung der Quadratsumme für die Gesamtabweichung

Es lässt sich zeigen, dass für die lineare Regressionsfunktion die folgende Zerlegung möglich ist.

$$\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\mathit{y}}_{\mathit{i}}-\overline{\mathit{y}}{)}^2=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}-\overline{\mathit{y}}{)}^2+\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\mathit{y}}_{\mathit{i}}-{\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}{)}^2$$

Wir führen die nachfolgende Bezeichnungen ein.

$$\begin{array}{rcl}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\mathit{y}}_{\mathit{i}}-\overline{\mathit{y}}{)}^2& =& {\Sigma }_{\mathit{t}}\text{Quadratsumme der zu erklärenden Abweichungen}\\ \sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}-\overline{\mathit{y}}{)}^2& =& {\Sigma }_{\mathit{r}}\text{Quadratsumme der erklärten Abweichungen}\\ \sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}({\mathit{y}}_{\mathit{i}}-{\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}{)}^2& =& {\Sigma }_{\mathit{e}}\text{Quadratsumme der nichterklärten Abweichungen}\end{array}$$

${\Sigma }_{\mathit{r}}$ ist durch die Regression erklärt. ${\Sigma }_{\mathit{e}}$ ist eigentlich die Summe der Residuen ${\Sigma }_{\mathit{e}}={\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{m}}{\mathit{e}}_{\mathit{i}}^2$. Läuft die Regressionsfunktion der kleinsten Quadrate durch alle beobachteten Punkte $({\mathit{x}}_{\mathit{i}},{\mathit{y}}_{\mathit{i}}),\mathit{i}=1,2,\dots ,\mathit{m}$, dann ist ${\Sigma }_{\mathit{e}}=0$, und alle Abweichungen in den Werten ${\mathit{y}}_{\mathit{i}},\mathit{i}=1,2,\dots ,\mathit{m}$ sind durch die Regression erklärt. Ist andererseits das Vertrauen in die Beziehung niedrig, dann bedeutet dies, dass ${\Sigma }_{\mathit{r}}$ kleiner als ${\Sigma }_{\mathit{e}}$ (${\Sigma }_{\mathit{r}}\ll {\Sigma }_{\mathit{e}}$) ist. Die Abweichungen der Werte ${\mathit{y}}_{\mathit{i}},\mathit{i}=1,2,\dots ,\mathit{m}$ erweisen damit die vorgeschlagene Regressionsfunktion als ungeeignet. Der Korrelationskoeffizient ist auch gegeben durch

$${\mathit{r}}^2=\frac{{\Sigma }_{\mathit{r}}}{{\Sigma }_{\mathit{t}}}=\frac{{\Sigma }_{\mathit{r}}}{{\Sigma }_{\mathit{r}}+{\Sigma }_{\mathit{e}}}.$$

Daraus folgt

$$\begin{array}{rcll}|\mathit{r}|\approx 0& \text{für}& {\Sigma }_{\mathit{r}}\ll {\Sigma }_{\mathit{e}}& \text{fast keine Korrelation}\\ |\mathit{r}|\approx 1& \text{für}& {\Sigma }_{\mathit{r}}\gg {\Sigma }_{\mathit{e}}& \text{fast perfekte Korrelation}.\end{array}$$