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Elementare Operatoralgebra

Hermite´sche Operatoren

Wie vorher besprochen, kann man die reellen Funktionen einer reellen Variablen f ( x ) und g ( x ) als Vektoren betrachten und wie bei Vektoren eines Vektorraums endlicher Dimension lässt sich ein Skalarprodukt für Vektoren eines Vektorraums unendlicher Dimension definieren. Für ein gewisses Intervall [ a , b ] der Koordinatenachse definiert man das Skalarprodukt zweier Funktionen

( f | g ) = a b f ( t ) g ( t ) d t .

Für komplexe Funktionen einer reellen Variablen lautet das Skalarprodukt

( f | g ) = a b f * ( t ) g ( t ) d t ,

und aus folgt:

( f | g ) = ( g | f ) * .

Für einen Operator P ^ definiert man seinen zugehörigen adjungierten Operator P ^ + in Beziehung zu den Funktionen f ( t ) und g ( t ) , die angegebenen Randbedingungen bei t = a und t = b genügen

( P ^ f | g ) = ( f | P ^ + g ) ,

d.h.

a b P ^ f ( t ) * g ( t ) d t = a b f * ( t ) P ^ + g ( t ) d t .

In der Matrixdarstellung spricht man entsprechend von einer adjungierten Matrix, d. h. die konjugiert Transponierte einer Matrix

A + = A T * .

Ein Operator P ^ heißt hermitesch, wenn gilt

( P ^ f | g ) = ( f | P ^ g ) ,

d.h.

a b P ^ f ( t ) * g ( t ) d t = a b f * ( t ) P ^ g ( t ) d t .

Aus und kann man klar erkennen, dass wenn P ^ selbstadjungiert ist, d.h., P ^ = P ^ + gilt, ist P ^ hermitesch

P ^ = P ^ + P ^ hermitesch .

Das Gegenteil von gilt nicht unbedingt, aber in der Quantenmechanik sind die Begriffe selbstadjungiert und hermitesch üblicherweise synonym, z.B. die Matrix

0 - i i 0

ist selbstadjungiert (hermitesch) genau so wie alle reellen symmetrischen Matrizen.

Beispiel

Der Operator

P ^ = - i d d x

ist hermitesch in Beziehung zu den komplexen Funktionen f ( x ) = e i k x und g ( x ) = e i k ' x mit k , k ' auf dem Intervall ( - , ) :

( P ^ f | g ) = - - i d d x e i k x * e i k ' x d x = - k e i k x * e i k ' x d x = k - e i ( k ' - k ) x d x = k δ ( k ' - k )

und

( f | P ^ g ) = - e i k x * - i d d x e i k ' x d x = - e i k x * k ' e i k ' x d x = k ' - e i ( k ' - k ) x d x = k ' δ ( k ' - k ) .

Laut der Eigenschaften der Delta-Funktion sind und gleich. Man kennt den Operator als den Impulsoperator der Quantenmechanik.

Beispiel

Der Drehimpuls eines Teilchens ist durch das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert

L = r × p ,

das sich als eine 3 × 3 -Determinante ausdrücken lässt

L = i j k x y z p x p y p z .

Die z -Komponente lautet

L z = x p y - y p x ,

was klassisch keine Probleme bereitet, da die Größen x , y , p x , p y reelle Zahlen sind, und die Multiplikation zweier reeller Zahlen kommutativ ist. In der Quantenmechanik hingegen muss man die Zahlen x , y , p x , p y durch Operatoren ersetzen

x x , y y , p x - i x , p y - i y ,

wobei die Reihenfolge der Operatoren in Produkten von Bedeutung sein könnte. Für gibt es vier verschiedene Möglichkeiten

L z = x p y - y p x , L z = p y x - y p x , L z = x p y - p x y , L z = p y x - p x y .

Zum Glück stellt sich heraus, dass sowohl die Operatoren x und - i y als auch die Operatoren y und - i x kommutieren. Somit ist die Reihenfolge (siehe ) irrelevant und die z -Komponente des Drehimpulsoperators lautet:

L z = - i x y - y x .

Dieselben Überlegungen gelten auch für die x - und y -Komponenten.

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