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Elementare Operatoralgebra

Operatoren

Gegeben sei eine Funktion f ( x ) . Wir können aus ihr eine neue Funktion g ( x ) erzeugen, indem wir sie mit einer Konstanten multiplizieren, sie differenzieren oder andere Operationen mit ihr durchführen. Z.B. sei f ( x ) = 3 x 2 :

a f ( x ) = a f = a 3 x 2 = g ( x ) a

und

d d x f ( x ) = d d x f = d d x ( 3 x 2 ) = 6 x = g ( x ) .

Die mit der Funktion durchgeführte Operation können wir allgemein schreiben in der Form:

P ^ f ( x ) = g ( x ) oder kurz P ^ f = g .

Das Symbol P ^ kennzeichnet die durchgeführte Operation und wird als Operator bezeichnet. Für das gezeigte Beispiel gilt:

P ^ = a und P ^ = d d x .

Der Sonderfall P ^ = a = 1 wird, da g = f gilt, als Einheitsoperator bezeichnet und als I ^ notiert.

Die hier vorgestellten Operatoren wirken auf Funktionen. In einem anderen Zusammenhang begegnet man aber auch Operatoren, die auf Vektoren wirken, z. B. lineare Transformationen in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum. Hier sind die Operatoren durch Matrizen dargestellt, der Matrixoperator A bildet den Vektor x auf den Vektor y ab:

A x = y .

Eigentlich sind die Funktionen f ( x ) und g ( x ) auch Vektoren, die aber in einem Vektorraum unendlicher Dimension leben, der Operator P ^ bildet den Vektor f ( x ) auf den Vektor g ( x ) ab

P ^ f ( x ) = g ( x ) .

Noch ein Beispiel von sind inhomogene Differenzialgleichungen.

Operatoren können nacheinander angewandt werden. Sind P ^ 1 und P ^ 2 zwei Operatoren, dann darf man P ^ 2 auf g = P ^ 1 f anwenden. Seien beispielsweise

P ^ 1 = x , P ^ 2 = d d x und f ( x ) = e x ,

so ergibt sich durch die Produktregel

P ^ 2 P ^ 1 f ( x ) = P ^ 2 x e x = d d x x e x = x e x + e x .

Wird hingegen P ^ 1 auf g = P ^ 2 f angewandt, so erhält man

P ^ 1 P ^ 2 f ( x ) = P ^ 1 d d x e x = x e x = x e x .

Beim Vergleich von mit ist zu sehen, dass die Reihenfolge der Anwendung der Operatoren auf die Funktion wichtig ist. In diesem Beispiel ist

P ^ 1 P ^ 2 f ( x ) P ^ 2 P ^ 1 f ( x ) .

Man sagt, dass die beiden Operatoren P ^ 1 und P ^ 2 nicht vertauschbar oder nicht kommutativ sind. Subtrahieren wir von , so erhält man

P ^ 2 P ^ 1 - P ^ 1 P ^ 2 e x = x e x + e x - x e x = e x 0 .

Sind hingegen zwei Operatoren P ^ 1 und P ^ 2 vertauschbar, dann verschwindet P ^ 2 P ^ 1 - P ^ 1 P ^ 2 . Z. B. für

P ^ 1 = a , a und P ^ 2 = d d x

ist laut der Faktorregel

P ^ 2 P ^ 1 - P ^ 1 P ^ 2 = d d x a - a d d x = a d d x - a d d x = 0 ,

d.h., die beiden Operatoren sind kommutativ.

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