Elementare Operatoralgebra
Operatoren
Gegeben sei eine Funktion . Wir können aus ihr eine neue Funktion erzeugen, indem wir sie mit einer Konstanten multiplizieren, sie differenzieren oder andere Operationen mit ihr durchführen. Z.B. sei :
und
Die mit der Funktion durchgeführte Operation können wir allgemein schreiben in der Form:
Das Symbol kennzeichnet die durchgeführte Operation und wird als Operator bezeichnet. Für das gezeigte Beispiel gilt:
Der Sonderfall wird, da gilt, als Einheitsoperator bezeichnet und als notiert.
Die hier vorgestellten Operatoren wirken auf Funktionen. In einem anderen Zusammenhang begegnet man aber auch Operatoren, die auf Vektoren wirken, z. B. lineare Transformationen in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum. Hier sind die Operatoren durch Matrizen dargestellt, der Matrixoperator bildet den Vektor auf den Vektor ab:
Eigentlich sind die Funktionen und auch Vektoren, die aber in einem Vektorraum unendlicher Dimension leben, der Operator bildet den Vektor auf den Vektor ab
Noch ein Beispiel von sind inhomogene Differenzialgleichungen.
Operatoren können nacheinander angewandt werden. Sind und zwei Operatoren, dann darf man auf anwenden. Seien beispielsweise
so ergibt sich durch die Produktregel
Wird hingegen auf angewandt, so erhält man
Beim Vergleich von mit ist zu sehen, dass die Reihenfolge der Anwendung der Operatoren auf die Funktion wichtig ist. In diesem Beispiel ist
Man sagt, dass die beiden Operatoren und nicht vertauschbar oder nicht kommutativ sind. Subtrahieren wir von , so erhält man
Sind hingegen zwei Operatoren und vertauschbar, dann verschwindet . Z. B. für
ist laut der Faktorregel
d.h., die beiden Operatoren sind kommutativ.