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Elementare Operatoralgebra

Operatoren

Gegeben sei eine Funktion $f (x)$ . Wir können aus ihr eine neue Funktion $g (x)$ erzeugen, indem wir sie mit einer Konstanten multiplizieren, sie differenzieren oder andere Operationen mit ihr durchführen. Z.B. sei $f (x) = 3 x^{2}$ :

a \cdot f (x) = a \cdot f = a \cdot 3 x^{2} = g (x) a \in ℝ

und

\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} f = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) = 6 x = g (x) .

Die mit der Funktion durchgeführte Operation können wir allgemein schreiben in der Form:

\hat{P} f (x) = g (x) oder kurz \hat{P} f = g .

Das Symbol $\hat{P}$ kennzeichnet die durchgeführte Operation und wird als Operator bezeichnet. Für das gezeigte Beispiel gilt:

\hat{P} = a und \hat{P} = \frac{d}{d x} .

Der Sonderfall $\hat{P} = a = 1$ wird, da $g = f$ gilt, als Einheitsoperator bezeichnet und als $\hat{I}$ notiert.

Die hier vorgestellten Operatoren wirken auf Funktionen. In einem anderen Zusammenhang begegnet man aber auch Operatoren, die auf Vektoren wirken, z. B. lineare Transformationen in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum. Hier sind die Operatoren durch Matrizen dargestellt, der Matrixoperator $A$ bildet den Vektor $x$ auf den Vektor $y$ ab:

A x = y .

Eigentlich sind die Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ auch Vektoren, die aber in einem Vektorraum unendlicher Dimension leben, der Operator $\hat{P}$ bildet den Vektor $f (x)$ auf den Vektor $g (x)$ ab

\hat{P} f (x) = g (x) .

Noch ein Beispiel von sind inhomogene Differenzialgleichungen.

Operatoren können nacheinander angewandt werden. Sind ${\hat{P}}_{1}$ und ${\hat{P}}_{2}$ zwei Operatoren, dann darf man ${\hat{P}}_{2}$ auf $g = {\hat{P}}_{1} f$ anwenden. Seien beispielsweise

{\hat{P}}_{1} = x, {\hat{P}}_{2} = \frac{d}{d x} und f (x) = e^{x},

so ergibt sich durch die Produktregel

\begin{array}{rcl} {\hat{P}}_{2} \{{\hat{P}}_{1} f (x)\} & = & {\hat{P}}_{2} \{x e^{x}\} \\ = & \frac{d}{d x} \{x e^{x}\} \\ = & x e^{x} + e^{x} . \end{array}

Wird hingegen ${\hat{P}}_{1}$ auf $g = {\hat{P}}_{2} f$ angewandt, so erhält man

\begin{array}{rcl} {\hat{P}}_{1} \{{\hat{P}}_{2} f (x)\} & = & {\hat{P}}_{1} \{\frac{d}{d x} e^{x}\} \\ = & x \{e^{x}\} \\ = & x e^{x} . \end{array}

Beim Vergleich von mit ist zu sehen, dass die Reihenfolge der Anwendung der Operatoren auf die Funktion wichtig ist. In diesem Beispiel ist

{\hat{P}}_{1} {\hat{P}}_{2} f (x) \neq {\hat{P}}_{2} {\hat{P}}_{1} f (x) .

Man sagt, dass die beiden Operatoren ${\hat{P}}_{1}$ und ${\hat{P}}_{2}$ nicht vertauschbar oder nicht kommutativ sind. Subtrahieren wir von , so erhält man

\{{\hat{P}}_{2} {\hat{P}}_{1} - {\hat{P}}_{1} {\hat{P}}_{2}\} e^{x} = x e^{x} + e^{x} - x e^{x} = e^{x} \neq 0 .

Sind hingegen zwei Operatoren ${\hat{P}}_{1}$ und ${\hat{P}}_{2}$ vertauschbar, dann verschwindet ${\hat{P}}_{2} {\hat{P}}_{1} - {\hat{P}}_{1} {\hat{P}}_{2}$ . Z. B. für