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Wärmeleitung

Beispiel

Wir betrachten die Wärmeleitung (Diffusion) in einem endlichen Stab mit den Randbedingungen

u x ( 0 , t ) = 0 und u x ( L , t ) = 0 t 0 ,

d.h. an den Stabenden ist keine Wärmeleitung vorhanden. Eine Anfangstemperaturverteilung ist gegeben durch

u ( x , 0 ) = f ( x ) = 4 x L 1 - x L 0 x L .

Die Temperaturverteilung im Stab lautet nach dem Ergebnis der vorherigen Seite

u ( x , t ) = n = 0 C n cos n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .

Die Koeffizienten { C n } lassen sich durch folgende Integrale berechnen

C 0 = 1 L 0 L f ( x ) d x C n = 2 L 0 L f ( x ) cos n π x L d x n = 1 , 2 , 3 ,  .

Substituieren wir f ( x ) , so erhalten wir

C 0 = 1 L 0 L f ( x ) d x = 4 L 2 0 L x 1 - x L d x C n = 2 L 0 L f ( x ) cos n π x L d x n = 1 , 2 , 3 , = 8 L 2 0 L x 1 - x L cos n π x L d x .

Das C 0 -Integral ist leicht zu berechnen. Das C n -Integral lässt sich durch partielle Integration bestimmen. Die Ergebnisse sind

C 0 = 2 3 C n = - 8 n 2 π 2 ( -1 ) n + 1 = 0 n  ungerade - 16 n 2 π 2 n  gerade.

Folglich lautet die Temperaturverteilung

u ( x , t ) = 2 3 - 16 π 2 n = 1 1 4 n 2 cos 2 n π x L exp - 4 n 2 π 2 D t L 2 .
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