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Wärmeleitung

Wärmeleitung in einem Stab endlicher Länge: keine Wärmeleitung durch die Stabenden

  • Startgleichung 2 u x 2 - 1 D u t = 0.
  • Anfangsbedingung u ( x , 0 ) = f ( x ) 0 x L .
  • Randbedingungen u x ( 0 , t ) = 0 und u x ( L , t ) = 0 t 0.

Anwendung des Separationsansatzes u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) auf die Diffusionsgleichung ergibt

T ' D T = X ' ' X = konstant.

Als Separationskonstante wählen wir λ , was zu zwei gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter und erster Ordnung führt:

(1) X ' ' - λ X = 0 mit X ' ( 0 ) = X ' ( L ) = 0 (2) T ' - D λ T = 0.

Wir bearbeiten zuerst die Funktion X . Für λ gibt es drei Möglichkeiten:

  • Fall 1 λ = 0 . Dann ist X ' ' = 0 ; so ist X ( x ) = A x + B und X ' ( x ) = A x . Die Randbedingungen X ' ( 0 ) = X ' ( L ) = 0 führen zu A = 0 , d.h. die Lösung ist X ( x ) = B (konstant).
  • Fall 2 λ = α 2 > 0 mit α > 0 . Dann ist X ( x ) = A e α x + B e - α x . Die Randbedingung X ' ( 0 ) = 0 = α ( A - B ) führt zu A = B . Dann ist X = 2 A cosh ( α x ) , aber X ' ( L ) = 0 = 2 α A sinh ( α x ) erzwingt A = 0 , d.h. man bekommt die triviale Lösung u ( x , t ) = 0 für λ > 0 .
  • Fall 3 λ = - α 2 < 0 mit α > 0 . Dies ergibt die Schwingungsgleichung X ' ' + α 2 X = 0 , mit der Lösung: X ( x ) = A cos α x + B sin α x . X ' ( 0 ) = 0 = α B führt zu B = 0 . Dann ist X ' ( L ) = 0 = - α A sin ( α L ) oder sin ( α L ) = 0 für A 0 . Folglich gilt α L = n π , n = 1 , 2 , 3 , oder λ n = - n 2 π 2 L 2 , n = 1 , 2 , 3 ,  .

Kombinieren wir die Fälle 1 ( n = 0 ) und 3 ( n = 1 , 2 , 3 , ), so erhalten wir

X n ( x ) = A n cos n π x L n = 0 , 1 , 2 ,  .

Die Gleichung für T ( t ) ist nun

T ' + n 2 π 2 D L 2 T = 0

mit der Lösung

T n = B n exp - n 2 π 2 D t L 2 .

Folglich ist die Temperatur gegeben durch

u n ( x , t ) = C n cos n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 n = 0 , 1 , 2 , ,

wobei C n = A n B n ist. Um der Anfangsverteilung der Temperatur u ( x , 0 ) = f ( x ) zu genügen, überlagern wir die Lösungen für alle n

u ( x , t ) = n = 0 C n cos n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .

Die Konstanten { C n } lassen sich durch die Anfangsbedingung ermitteln

u ( x , 0 ) = f ( x ) = n = 0 C n cos n π x L .

Man erkennt die Summe als die Fourierreihe einer geraden Funktion im Intervall [ - L , L ] (Periode 2 L ). Die Koeffizienten { C n } sind durch folgende Integrale gegeben

C 0 = 1 L 0 L f ( x ) d x C n = 2 L 0 L f ( x ) cos n π x L d x n = 1 , 2 , 3 ,  .

Damit lautet die Lösung

u ( x , t ) = 1 L 0 L f ( x ' ) d x ' + n = 1 2 L 0 L f ( x ' ) cos n π x ' L d x ' cos n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .
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