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Diffusionsgleichung

Beispiel

Wir betrachten die Diffusion in einem unendlich langen Stab mit einer Anfangskonzentration, welche gegeben ist durch

ρ ( x , 0 ) = f ( x ) = ρ 0 δ ( x - a ) .

Dabei ist δ ( x - a ) die Delta-Funktion. Dies bedeutet, dass zur Zeit t = 0 nur an der Stelle x = a eine Stoffmenge vorliegt. Die Konzentration zu einem späteren Zeitpunkt t ist gemäß der auf der vorherigen Seite hergeleiteten Formel:

ρ ( x , t ) = 1 2 π D t - f ( y ) e - ( x - y ) 2 4 D t d y .

Nach Einsetzen von f ( x ) ergibt sich

ρ ( x , t ) = ρ 0 2 π D t - δ ( y - a ) e - ( x - y ) 2 4 D t d y = ρ 0 2 π D t e - ( x - a ) 2 4 D t .

Dies ist die bekannte Gauß´sche Glockenkurve. Die Länge 2 D t ist die Halbwertbreite oder Streuung der Konzentrationsverteilung. Diese nimmt mit der Zeit zu, mit anderen Worten: die Substanz verteilt sich mit der Zeit immer weiter.

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