Beispiel

Wir betrachten die Diffusion in einem unendlich langen Stab mit einer Anfangskonzentration, welche gegeben ist durch

$$\rho (\mathit{x},0)=\mathit{f}(\mathit{x})={\rho }_0\delta (\mathit{x}-\mathit{a}).$$

Dabei ist $\delta (\mathit{x}-\mathit{a})$ die Delta-Funktion. Dies bedeutet, dass zur Zeit $\mathit{t}=0$ nur an der Stelle $\mathit{x}=\mathit{a}$ eine Stoffmenge vorliegt. Die Konzentration zu einem späteren Zeitpunkt $\mathit{t}$ ist gemäß der auf der vorherigen Seite hergeleiteten Formel:

$$\rho (\mathit{x},\mathit{t})=\frac{1}{2\sqrt{\pi \mathit{D}\mathit{t}}}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\mathit{f}(\mathit{y}){\text{e}}^{-\frac{(\mathit{x}-\mathit{y}{)}^2}{4\mathit{D}\mathit{t}}}\text{d}\mathit{y}.$$

Nach Einsetzen von $\mathit{f}(\mathit{x})$ ergibt sich

$$\begin{array}{rcl}\rho (\mathit{x},\mathit{t})& =& \frac{{\rho }_0}{2\sqrt{\pi \mathit{D}\mathit{t}}}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta (\mathit{y}-\mathit{a}){\text{e}}^{-\frac{(\mathit{x}-\mathit{y}{)}^2}{4\mathit{D}\mathit{t}}}\text{d}\mathit{y}\\ & =& \frac{{\rho }_0}{2\sqrt{\pi \mathit{D}\mathit{t}}}{\text{e}}^{-\frac{(\mathit{x}-\mathit{a}{)}^2}{4\mathit{D}\mathit{t}}}.\end{array}$$

Dies ist die bekannte Gauß´sche Glockenkurve. Die Länge $\sqrt{2}\sqrt{\mathit{D}\mathit{t}}$ ist die Halbwertbreite oder Streuung der Konzentrationsverteilung. Diese nimmt mit der Zeit zu, mit anderen Worten: die Substanz verteilt sich mit der Zeit immer weiter.