Beispiel

Wir betrachten die Diffusion in einem endlichen Stab mit den Randbedingungen

$$\rho (0,\mathit{t})=0\text{und}\rho (\mathit{L},\mathit{t})=0\mathit{t}\ge 0$$

und eine durch

$$\rho (\mathit{x},0)=\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{4\mathit{x}}{\mathit{L}}\left(1-\frac{\mathit{x}}{\mathit{L}}\right)0\le \mathit{x}\le \mathit{L}$$

gegebene Anfangskonzentration. Die Konzentration zur Zeit $\mathit{t}$ ist

$$\rho (\mathit{x},\mathit{t})=\sum _{\mathit{n}=1}^{\infty }{\mathit{C}}_{\mathit{n}}sin\left(\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)exp\left(\frac{-{\mathit{n}}^2{\pi }^2\mathit{D}\mathit{t}}{{\mathit{L}}^2}\right).$$

Die Koeffizienten $\{{\mathit{C}}_{\mathit{n}}\}$ lassen sich durchs folgende Integral berechnen

$${\mathit{C}}_{\mathit{n}}=\frac{2}{\mathit{L}}\underset{0}{\overset{\mathit{L}}{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})sin\left(\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)\text{d}\mathit{x}.$$

Setzen wir $\mathit{f}(\mathit{x})$ ein, so erhalten wir

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{C}}_{\mathit{n}}& =& \frac{8}{{\mathit{L}}^2}\underset{0}{\overset{\mathit{L}}{\int }}\mathit{x}\left(1-\frac{\mathit{x}}{\mathit{L}}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)\text{d}\mathit{x}\\ & =& \frac{8}{{\mathit{L}}^2}\underset{0}{\overset{\mathit{L}}{\int }}\mathit{x}sin\left(\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)\text{d}\mathit{x}-\frac{8}{{\mathit{L}}^3}\underset{0}{\overset{\mathit{L}}{\int }}{\mathit{x}}^{2}sin\left(\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)\text{d}\mathit{x}\end{array}$$

Beide Integrale lassen sich durch partielle Integration berechnen. Das Ergebnis ist

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{C}}_{\mathit{n}}& =& -\frac{16}{{\mathit{n}}^3{\pi }^3}\left[(-1{)}^{\mathit{n}}-1\right]\\ & =& \left\{\begin{array}{ccl}0& & \mathit{n}\text{gerade}\\ \frac{32}{{\mathit{n}}^3{\pi }^3}& & \mathit{n}\text{ungerade}\end{array}\right. \end{array}$$

Folglich lautet die Konzentration

$$\rho (\mathit{x},\mathit{t})=\sum _{\mathit{n}=1}^{\infty }\frac{32}{(2\mathit{n}-1{)}^3{\pi }^3}sin\left(\frac{(2\mathit{n}-1)\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\right)exp\left(\frac{-(2\mathit{n}-1{)}^2{\pi }^2\mathit{D}\mathit{t}}{{\mathit{L}}^2}\right).$$