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Diffusionsgleichung

Beispiel

Wir betrachten die Diffusion in einem endlichen Stab mit den Randbedingungen

ρ ( 0 , t ) = 0 und ρ ( L , t ) = 0 t 0

und eine durch

ρ ( x , 0 ) = f ( x ) = 4 x L 1 - x L 0 x L

gegebene Anfangskonzentration. Die Konzentration zur Zeit t ist

ρ ( x , t ) = n = 1 C n sin n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .

Die Koeffizienten { C n } lassen sich durchs folgende Integral berechnen

C n = 2 L 0 L f ( x ) sin n π x L d x .

Setzen wir f ( x ) ein, so erhalten wir

C n = 8 L 2 0 L x 1 - x L sin n π x L d x = 8 L 2 0 L x sin n π x L d x - 8 L 3 0 L x 2 sin n π x L d x

Beide Integrale lassen sich durch partielle Integration berechnen. Das Ergebnis ist

C n = - 16 n 3 π 3 ( -1 ) n - 1 = 0 n gerade 32 n 3 π 3 n ungerade

Folglich lautet die Konzentration

ρ ( x , t ) = n = 1 32 ( 2 n -1 ) 3 π 3 sin ( 2 n -1 ) π x L exp - ( 2 n -1 ) 2 π 2 D t L 2 .
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