Diffusionsgleichung
Diffusion in einem unendlich langen Stab
- Startgleichung
- Anfangsbedingung
- RandbedingungenEs wird aus physikalischen Gründen verlangt, dass die Lösung bei nicht unendlich wird.
Anwendung des Separationsansatzes auf die Diffusionsgleichung ergibt
Als Separationskonstante wählen wir , was zu zwei gewöhnlichen DGn zweiter und erster Ordnung führt:
Wir bemühen uns zuerst um die Funktion . Sie darf keine Exponentialfunktionen enthalten, da sie bei endlich bleiben soll. Wir wählen deshalb ( reell) und erhalten
Im Gegensatz zum Fall eines Stabes endlicher Länge, bei dem nur diskrete Werte annimmt, darf hier kontinuierliche Werte annehmen. Die Gleichung für ist
mit Lösung
Wir schreiben nun anstelle von , nehmen in auf, und integrieren über (Überlagerung der einzelnen Lösungen), um die allgemeine Lösung zu ermitteln
Die Anfangsbedingung bestimmt
Das obige Integral erkennen wir als eine Fourier-Transformation. Daraus folgt
Einsetzen in die allgemeine Lösung ergibt
Vertauschen wir beide Integrationen, so erhalten wir
Damit lässt. sich zuerst das -Integral berechnen. Jetzt gestalten wir das Argument der Exponentialfunktion wie folgt um
(quadratische Ergänzung). Somit erhalten wir
Nach einer Variablensubstitution
geht das zweite Integral über in
Schließlich erhalten wir für die Konzentration in einem unendlichen Stab mit Anfangskonzentration