zum Directory-modus

Diffusionsgleichung

Diffusion in einem unendlich langen Stab

  • Startgleichung 2 ρ x 2 - 1 D ρ t = 0.
  • Anfangsbedingung ρ ( x , 0 ) = f ( x ) 0 x L
  • RandbedingungenEs wird aus physikalischen Gründen verlangt, dass die Lösung bei x = ± nicht unendlich wird.

Anwendung des Separationsansatzes ρ ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) auf die Diffusionsgleichung ergibt

T ' D T = X ' ' X = konstant.

Als Separationskonstante wählen wir λ , was zu zwei gewöhnlichen DGn zweiter und erster Ordnung führt:

(1) X ' ' - λ X = 0 mit X ( 0 ) = X ( L ) = 0 (2) T ' - D λ T = 0.

Wir bemühen uns zuerst um die Funktion X . Sie darf keine Exponentialfunktionen enthalten, da sie bei x = ± endlich bleiben soll. Wir wählen deshalb λ = - k 2 ( k reell) und erhalten

X ( x ) = a k e i k x .

Im Gegensatz zum Fall eines Stabes endlicher Länge, bei dem k nur diskrete Werte annimmt, darf hier k kontinuierliche Werte annehmen. Die Gleichung für T ( t ) ist

T ' + k 2 D T = 0

mit Lösung

T ( t ) = c k e - k 2 D t .

Wir schreiben nun a ( k ) anstelle von a k , nehmen c k in a k auf, und integrieren über k (Überlagerung der einzelnen Lösungen), um die allgemeine Lösung zu ermitteln

ρ ( x , t ) = - a ( k ) e i k x - k 2 D t d k .

Die Anfangsbedingung bestimmt a ( k )

ρ ( x , 0 ) = - a ( k ) e i k x d k = f ( x ) .

Das obige Integral erkennen wir als eine Fourier-Transformation. Daraus folgt

a ( k ) = 1 2 π - f ( y ) e - i k y d y .

Einsetzen in die allgemeine Lösung ergibt

ρ ( x , t ) = - 1 2 π - f ( y ) e - i k y d y e i k x - k 2 D t d k .

Vertauschen wir beide Integrationen, so erhalten wir

ρ ( x , t ) = 1 2 π - f ( y ) d y - e i k ( x - y ) - k 2 D t d k .

Damit lässt. sich zuerst das k -Integral berechnen. Jetzt gestalten wir das Argument der Exponentialfunktion wie folgt um

i k ( x - y ) - k 2 D t = - D t k - i ( x - y ) 2 D t 2 + ( x - y ) 2 4 ( D t ) 2

(quadratische Ergänzung). Somit erhalten wir

ρ ( x , t ) = 1 2 π - f ( y ) e - ( x - y ) 2 4 D t d y - e - D t k - i ( x - y ) 2 D t 2 d k .

Nach einer Variablensubstitution

z = D t k - i ( x - y ) 2 D t d z = D t d k

geht das zweite Integral über in

1 D t - e - z 2 d z = 1 D t π .

Schließlich erhalten wir für die Konzentration in einem unendlichen Stab mit Anfangskonzentration ρ ( x , t ) = f ( x )

ρ ( x , t ) = 1 2 π D t - f ( y ) e - ( x - y ) 2 4 D t d y .
Seite 4 von 5