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Diffusionsgleichung

Diffusion in einem Stab endlicher Länge: Konzentrationen an den Stabenden sind Null

  • Startgleichung 2 ρ x 2 - 1 D ρ t = 0.
  • Anfangsbedingung ρ ( x , 0 ) = f ( x ) 0 x L .
  • Randbedingungen ρ ( 0 , t ) = 0 und ρ ( L , t ) = 0 t 0.

Anwendung des Separationsansatzes ρ ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) auf die Diffusionsgleichung ergibt

T ' D T = X ' ' X = konstant.

Als Separationskonstante wählen wir λ , was zu zwei gewöhnlichen DGn zweiter und erster Ordnung führt:

(1) X ' ' - λ X = 0 mit X ( 0 ) = X ( L ) = 0 (2) T ' - D λ T = 0.

Die Gleichung für X ( x ) mit den angegebenen Randbedingungen tritt bei der Lösung der Wellengleichung auf. Eine Lösung existiert nur für diskrete Werte von λ . Sie lautet:

X n ( x ) = B n sin n π x L mit λ n = - n 2 π 2 L 2 , n = 1 , 2 , 3 , .

Dabei sind die B n konstant. Die triviale Lösung X = 0 ( n = 0 ) ist zu vernachlässigen. Die Gleichung für T ( t ) ist dann

T ' + n 2 π 2 D L 2 T = 0

mit der Lösung

T n = D n exp - n 2 π 2 D t L 2 n = 1 , 2 , 3 , , D n konstant .

Folglich ist die Konzentration, die den Randbedingungen ρ ( 0 , t ) = ρ ( L , t ) = 0 genügt, gegeben durch

ρ n ( x , t ) = C n sin n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 n = 1 , 2 , 3 , ,

wobei C n = B n D n ist. Um der Anfangsverteilung der Konzentration ρ ( x , 0 ) = f ( x ) zu genügen, überlagern wir die Lösungen für alle n

ρ ( x , t ) = n = 1 C n sin n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .

Die Konstanten { C n } lassen sich durch die Anfangsbedingung ermitteln

ρ ( x , 0 ) = f ( x ) = n = 1 C n sin n π x L .

Man erkennt die Summe als die Fourierreihe einer ungeraden Funktion im Intervall [ - L , L ] (Periode 2 L ). Der Koeffizient C n ist durch folgendes Integral gegeben

C n = 2 L 0 L f ( x ) sin n π x L d x .

Dann lautet die Lösung

ρ ( x , t ) = n = 1 2 L 0 L f ( x ' ) sin n π x ' L d x ' sin n π x L exp - n 2 π 2 D t L 2 .
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