zum Directory-modus

Diffusionsgleichung

Diffusionsgleichung

Die Diffusionsgleichung beschreibt unter anderem den Konzentrationsverlauf eines Stoffes in einem Körper und die Wärmeleitung. Sie gehört zu den wichtigsten Gleichungen der Physik der kondensierten Materie.

Konzentrationsverlauf

Sei ρ die Konzentration eines Stoffes an der Stelle r = ( x , y , z ) zum Zeitpunkt t . Der Materiestrom J je Zeit und Flächeneinheit an dieser Stelle ist nach dem Fick´schen Gesetz gegeben durch

J = - D ρ ,

d.h. die Teilchen fließen in Richtung eines Konzentrationsgradienten. D ist die Diffusionskonstante. Für die zeitliche Änderung von ρ gilt das Gesetz der Erhaltung der Masse

- ρ t = J .

Kombiniert man beide Gleichungen, um J zu eliminieren, so erhält man die Diffusionsgleichung

2 ρ - 1 D ρ t = 0.

In einer räumlichen Dimension ( x -Richtung) lautet sie

2 ρ x 2 - 1 D ρ t = 0.

Die Konstante D hat die Dimension

[ D ] = L 2 t -1 .

Die Größe D t definiert eine Länge, die in Lösungen der Diffusionsgleichung als Parameter vorkommt. Sie stellt eine Art von Halbwertbreite der Konzentrationsverteilung dar.

Anfangs- und Randbedingungen

Die Diffusionsgleichung ist eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Um eine eindeutige Lösung zu finden, müssen Anfangs- und Randbedingungen angegeben werden. Betrachten wir z.B. die Diffusion in einem endlichen Stab 0 x L für die Zeit t 0 , so sind zwei Möglichkeiten denkbar:

  1. Die Konzentrationen an den Stabenden sind zu allen Zeiten gleich Null ρ ( 0 , t ) = ρ ( L , t ) = 0 t 0 , d.h. die Materie darf durch die Stabenden fließen, aber die herausdiffundierten Teilchen werden sofort entfernt.
  2. Die Stabenden sind isoliert (kein Materiestrom fließt durch die Stabenden), d.h. ρ x ( 0 , t ) = ρ x ( L , t ) = 0 t 0 .

Ferner muss die Anfangskonzentrationsverteilung im Stab zum Zeitpunkt t = 0 angegeben werden

ρ ( x , 0 ) = f ( x ) 0 x L .

Es sei bemerkt, dass über den Anfangswert von ρ t (im Gegensatz zum Fall bei der Wellengleichung) keine Aussage gemacht werden muss. Diese Größe bestimmt die Diffusionsgleichung selbst. Außerdem ist für eine vorliegende Lösung der Diffusionsgleichung ρ ( x , t )   ρ x automatisch auch eine Lösung. Fängt man mit dem Ansatz

ρ t = D 2 ρ x

an und differenziert man partiell beide Seiten nach x , so ergibt sich

2 ρ x t = D 3 ρ x .

Nach dem Satz von Schwarz darf man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen nach x und t vertauschen, und somit folgt die Diffusionsgleichung für ρ t :

t ρ x = D 2 x ρ x .
<Seite 1 von 5