zum Directory-modus

Eindimensionale Wellengleichung für die schwingende Saite

Schwingende Saite mit festgehaltenen Enden und vorgegebener Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit

Die Wellengleichung für eine Saite

2 w x 2 - 1 c 2 2 w t 2 = 0 mit w ( 0 , t ) = 0 und w ( L , t ) = 0

ist durch den Separationsansatz w ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) gelöst.

X ' ' + λ 2 X = 0 X ( 0 ) = X ( L ) = 0 λ = n π L , n = 1 , 2 , T ' ' + c 2 λ 2 T = 0.

Die Anfangsbedingungen führen Beschränkungen auf T ( t ) ein; ist die Anfangsgeschwindigkeit gleich null und die Anfangsauslenkung nicht null, so erhält man

w ( x , 0 ) t = X ( x ) T ' ( 0 ) = 0. T ' ( 0 ) = 0 ;

Ist die Anfangsauslenkung gleich null und die Anfangsgeschwindigkeit nicht null, so ergibt sich

w ( x , 0 ) = X ( x ) T ( 0 ) = 0 T ( 0 ) = 0.

Die allgemeine Lösung lässt sich als eine Linearkombination der Lösungen für jedes n darstellen, da die Wellengleichung linear ist:

w ( x , t ) = n = 0 B n sin n π x L C cos n π c t L + D sin n π c t L .

Man wählt die Koeffizientenprodukte B n C und B n D , um den Anfangsbedingungen

w ( x , 0 ) = f ( x ) und w t ( x , 0 ) = g ( x )

zu genügen, wobei man f ( x ) bzw. g ( x ) in eine Fourierreihe entwickelt. In folgenden Beispielen sind die Resultate der Fourierentwicklungen angegeben.

Null-Anfangsgeschwindigkeit f ( x ) 0 , g ( x ) = 0 (Abb. 1)

w 1 ( x , t ) = 4 L π 2 n = 1 ( -1 ) n + 1 ( 2 n - 1 ) 2 sin ( 2 n - 1 ) π x L cos ( 2 n - 1 ) π c t L .

Null-Anfangsauslenkung f ( x ) = 0 , g ( x ) = 1 (Abb. 2)

w 2 ( x , t ) = 4 L π 2 c n = 1 1 ( 2 n - 1 ) 2 sin ( 2 n - 1 ) π x L sin ( 2 n - 1 ) π c t L .

Anfangsgeschwindigkeit und -auslenkung f ( x ) 0 , g ( x ) 0 (Abb. 3) . Wegen der Linearität der Wellengleichung ist die Lösung durch die Summe der vorherigen Lösungen gegeben

w ( x , t ) = w 1 ( x , t ) + w 2 ( x , t ) .
Abb.1
Null Anfangsgeschwindigkeit
Abb.2
Null Anfangsauslenkung
Abb.3
Anfangsauslenkung und -geschwindgkeit
Seite 4 von 4>