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Eindimensionale Wellengleichung für die schwingende Saite

Schwingende Saite mit festgehaltenen Enden und vorgegebener Anfangsauslenkung

Abb.1
Anfangsauslenkung der Saite w ( x , 0 ) = f ( x )

f ( x ) = x 0 x < L / 2 L - x L / 2 x L

w ( x , t ) = n = 0 B n sin n π x L C cos n π c t L + D sin n π c t L

Die Anfangsbedingungen w ( x , 0 ) = f ( x ) und d w ( x , 0 ) / d t = 0 bedeuten, dass für t = 0 die Seite die Form f ( x ) hat und in Ruhe ist. Es gilt:

w ( x , 0 ) = n = 0 B n sin n π x L C cos n π c 0 L + D sin n π c 0 L = n = 0 B n C sin n π x L = f ( x ) w ( x , 0 ) t = n π c L n = 0 B n sin n π x L - C sin n π c 0 L + D cos n π c 0 L = n π c L n = 0 B n D sin n π x L = 0.

Aus der zweiten Gleichung folgt D = 0 . Um die Koeffizientenprodukte B n C zu bestimmen, entwickeln wir f ( x ) in eine Fourierreihe

f ( x ) = n = 1 C n sin n π x L mit C n = 2 L 0 L f ( x ) sin n π x L d x .

Das Resultat ist (Tabelle oder per Rechnung):

C n = 4 L n 2 π 2 sin n π 2 f ( x ) = 4 L π 2 n = 1 1 1 2 sin π x L - 1 3 2 sin 3 π x L + 1 5 2 sin 5 π x L - 1 7 2 sin 7 π x L +

Damit sind nur die Vielfachen n = 1 , 3 , 5 , 7 , (auch Quantenzahlen bezeichnet) erlaubt. Die Koeffizienten B n C nehmen die Werte C n an. Die den Rand- und Anfangsbedingungen genügende spezielle Lösung der eindimensionalen Wellengleichung lautet damit:

w ( x , t ) = 4 L π 2 n = 1 1 1 2 sin π x L cos π c t L - 1 3 2 sin 3 π x L cos 3 π c t L + 1 5 2 sin 5 π x L cos 5 π c t L - = 4 L π 2 n = 1 ( -1 ) n + 1 ( 2 n - 1 ) 2 sin ( 2 n - 1 ) π x L cos ( 2 n - 1 ) π c t L .

w ( x , t ) ist periodisch mit der Zeit τ = 2 L / c . Die nachfolgenden Abbildungen zeigen das Zeitverhalten der Saite in der ersten Viertelperiode.

Abb.2
Die w -Skala ist gegenüber der x -Skale um etwa den Faktor 5 gestreckt

Das Verhalten der Saite überrascht zunächst. Wie jedoch die Herleitung der Wellengleichung zeigt, existiert eine rücktreibende Kraft nur an jenen Saitenelementen d m , bei denen sich zwei Tangenten schneiden. Entlang der geraden Abschnitte ist die Kraft null. Deswegen können nur maximal zwei Knickpunkte auftreten. Sie entfernen sich zunächst voneinander, bis sie nach der Zeit τ / 4 die Orte x = 0 bzw. x = L erreicht haben. Dann nähern sie sich wieder bei negativen w -Werten, bis sie nach der Zeit τ / 2 bei x = L / 2 und w = - L / 2 zusammenfallen und wiederum sich entfernen und so weiter, bis nach einer Periode τ der Startpunkt wieder erreicht ist und sich die nächste Periode anschließt - dämpfungsfreie Schwingung.

Abb.3
Schwingende Saite

Die Lösung lässt sich auch notwendigerweise in der Form

w ( x , t ) = u ( x + c t ) + u ( x - c t )

schreiben, wobei

u ( y ) = 2 L π 2 n = 1 ( -1 ) n + 1 ( 2 n - 1 ) 2 sin ( 2 n - 1 ) π y L .

Trigonometrische Identität:

2 sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a - b ) .
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