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Eindimensionale Wellengleichung für die schwingende Saite

Schwingende Saite mit festgehaltenen Enden

Setzt man T ( t ) 0 voraus, so führen die Randbedingungen w ( 0 , t ) = w ( L , t ) = 0 zur Bedingung X ( 0 ) = X ( L ) = 0 , d.h.

(a) X ( 0 ) = A cos λ 0 + B sin λ 0 A = 0 (b) X ( L ) = A cos λ L + B sin λ L B sin λ L = 0.

Setzt man B 0 voraus, so ist Gleichung (8b) nur erfüllt, wenn λ L ein ganzzahliges Vielfaches von n π ist. Negative Werte n verändern nur das Vorzeichen von X , was mit der Wahl der noch offenen Konstanten B berücksichtigt werden kann. Also verbleiben nur noch positive Werte von n . Also gilt:

λ L = n π oder λ = n π L mit n = 0 , 1 , 2 , 3 ,

Der Fall n = 0 entspricht der Ruhelage, die Fälle n > 0 harmonischen Auslenkungen der Saite. Mit der speziellen Form von λ ergeben sich damit die partikulären Lösungen

w n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = B n sin n π x L C cos n π c t L + D sin n π c t L n = 0 , 1 , 2 , 3 ,   .

Erlaubt sind also nur die Schwingungen mit den Frequenzen n π c t / L , z.B.

Abb.1
Grundschwingung ( n = 1 ), 1. Oberton ( n = 2 ), 2. Oberton ( n = 3 )

Die allgemeine Lösung ist die Summe der partikulären Lösungen, also

w ( x , t ) = n = 0 B n sin n π x L C cos n π c t L + D sin n π c t L .

Die Konstanten C , D sind noch unbestimmt. Sie lassen sich durch die Anfangsbedingungen berechnen.

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