Schwingende Saite mit festgehaltenen Enden

Setzt man $\mathit{T}(\mathit{t})\ne 0$ voraus, so führen die Randbedingungen $\mathit{w}(0,\mathit{t})=\mathit{w}(\mathit{L},\mathit{t})=0$ zur Bedingung $\mathit{X}(0)=\mathit{X}(\mathit{L})=0$, d.h.

$$\begin{array}{rrclcl}\text{(a)}& \mathit{X}(0)& =& \mathit{A}cos\lambda \cdot 0+\mathit{B}sin\lambda \cdot 0& \Rightarrow & \mathit{A}=0\\ \text{(b)}& \mathit{X}(\mathit{L})& =& \mathit{A}cos\lambda \mathit{L}+\mathit{B}sin\lambda \mathit{L}& \Rightarrow & \mathit{B}sin\lambda \mathit{L}=0.\end{array}$$

Setzt man $\mathit{B}\ne 0$ voraus, so ist Gleichung (8b) nur erfüllt, wenn $\lambda \mathit{L}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\mathit{n}\pi$ ist. Negative Werte $\mathit{n}$ verändern nur das Vorzeichen von $\mathit{X}$, was mit der Wahl der noch offenen Konstanten $\mathit{B}$ berücksichtigt werden kann. Also verbleiben nur noch positive Werte von $\mathit{n}$. Also gilt:

$$\lambda \mathit{L}=\mathit{n}\pi \text{oder}\lambda =\frac{\mathit{n}\pi }{\mathit{L}}\text{mit}\mathit{n}=0,1,2,3,\dots$$

Der Fall $\mathit{n}=0$ entspricht der Ruhelage, die Fälle $\mathit{n}>0$ harmonischen Auslenkungen der Saite. Mit der speziellen Form von $\lambda$ ergeben sich damit die partikulären Lösungen

$${\mathit{w}}_{\mathit{n}}(\mathit{x},\mathit{t})=\mathit{X}(\mathit{x})\cdot \mathit{T}(\mathit{t})={\mathit{B}}_{\mathit{n}}sin\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\left\{\mathit{C}cos\frac{\mathit{n}\pi \mathit{c}\mathit{t}}{\mathit{L}}+\mathit{D}sin\frac{\mathit{n}\pi \mathit{c}\mathit{t}}{\mathit{L}}\right\}\mathit{n}=0,1,2,3,\dots \text{ .}$$

Erlaubt sind also nur die Schwingungen mit den Frequenzen $\mathit{n}\pi \mathit{c}\mathit{t}/\mathit{L}$, z.B.

Die allgemeine Lösung ist die Summe der partikulären Lösungen, also

$$\mathit{w}(\mathit{x},\mathit{t})=\sum _{\mathit{n}=0}^{\infty }{\mathit{B}}_{\mathit{n}}sin\frac{\mathit{n}\pi \mathit{x}}{\mathit{L}}\left\{\mathit{C}cos\frac{\mathit{n}\pi \mathit{c}\mathit{t}}{\mathit{L}}+\mathit{D}sin\frac{\mathit{n}\pi \mathit{c}\mathit{t}}{\mathit{L}}\right\}.$$

Die Konstanten $\mathit{C}$, $\mathit{D}$ sind noch unbestimmt. Sie lassen sich durch die Anfangsbedingungen berechnen.