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Eindimensionale Wellengleichung für die schwingende Saite

Lösung der eindimensionalen Wellengleichung: Separationsansatz

Abb.1
Anfangsauslenkung der Saite
  • Startgleichung: 2 w x 2 - 1 c 2 2 w t 2 = 0 .
  • Anfangs- und Randbedingungen: w ( x , 0 ) = f ( x ) und w t ( x , 0 ) = 0 w ( 0 , t ) = 0 und w ( L , t ) = 0 .

Anwendung des Separationsansatzes w ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) auf die Wellengleichung ergibt

1 X d 2 X d x 2 = 1 T c 2 d 2 T d t 2 .

Als Separationskonstante wählen wir α , was zu zwei gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung führt:

(1) d 2 X d x 2 - α X = 0 mit X ( 0 ) = X ( L ) = 0 (2) d 2 T d t 2 - c 2 α T = 0.

Wir bemühen uns zuerst um die Funktion X . Für α gibt es drei Möglichkeiten:

  • Fall 1 α = 0 . Dann X ' ' = 0 ; so X ( x ) = A x + B . Die Randbedingungen führen auf A = B = 0 , d.h. die triviale Lösung X ( x ) = 0 oder w ( x , t ) = 0 .
  • Fall 2 α = λ 2 > 0 . Dann X ( x ) = A e α x + B e - α x . Die Randbedingung X ( 0 ) = 0 führt auf A = - B und X ( L ) = 0 auf A = 0 , d.h. wieder die triviale Lösung w ( x , t ) = 0 .
  • Fall 3 α = - λ 2 < 0 . Dies ergibt die Schwingungsgleichung X ' ' + λ 2 X = 0 , T ' ' + c 2 λ 2 T = 0 , deren Lösungen lauten (1) X ( x ) = A cos λ x + B sin λ x (2) T ( t ) = C cos c λ t + D sin c λ t , wobei die Konstanten A , B , C , D aus der Rand- und Anfangsbedingungen zu bestimmen sind. Damit folgt w ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = A cos λ x + B sin λ x C cos c λ t + D sin c λ t .
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