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Wellengleichung

Allgemeine Betrachtungen über die Lösung der Wellengleichung

Für die Wellengleichung

2 u x 2 - 1 c 2 2 u t 2 = 0

ist jede Funktion von der allgemeinen Form

u ( x , t ) = g ( x - c t ) + h ( x + c t )

eine Lösung. Hierbei beschreibt

  • g ( x - c t ) das Fortschreiten der durch die Funktion g ( x ) gegebene Auslenkung in positive x -Richtung und
  • h ( x + c t ) das Fortschreiten der durch die Funktion h ( x ) gegebene Auslenkung in negative x -Richtung.

Grundbeispiel

Die Sinusfunktion ist eine grundlegende Lösungsfunktion der Wellengleichung. Im einfachsten Fall gilt mit h = 0

u ( x , t ) = sin k ( x - c t ) .

Dies stellt eine in die positive x -Richtung fortschreitende Sinuswelle dar. Für jede gegebene Zeit t ist die momentane Auslenkung eine periodische Funktion von x mit der Periode

λ = 2 π k .

Die Größe λ wird als Wellenlänge bezeichnet. Sie ließe sich auf dem Foto einer Wasserwelle, erzeugt mit genügend kleiner Belichtungszeit, unmittlbar erkennen. In entsprechender Weise ist an jedem gegebenen Ort x die Auslenkung eine periodische Funktion von t mit der Periode

τ = 2 π k c .

Überlagert man die nach links und rechts fortschreitenden Wellen gleicher Ampliduden, also

u ( x , t ) = sin k ( x - c t ) + sin k ( x + c t ) = 2 sin kx cos kct ,

so entsteht eine stehende Welle. An den Stellen x = 2 π n / k ist für ganze Zahlen n die Auslenkung u für jede Zeit gleich Null. Diese Orte werden als Knoten bezeichnet.

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