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Wellengleichung

Herleitung der Wellengleichung

Wir betrachten den physikalischen Ursprung der Wellengleichung zunächst am Beispiel einer eingespannten Saite. Startpunkt ist ihre Ruhestellung (Abb. 1).

Abb.1
Ruhestellung
Abb.2
tan α = w 0 / x 0 , tan β = w 0 / ( L - x 0 )

Wir ziehen nun die Saite mit einem Haken an der Stelle x = x 0 nach oben um eine Länge w 0 und halten sie mit der Kraft F in w -Richtung. Die rücktreibende Kraft F w in w -Richtung ist dann entgegengesetzt gleich. Charakteristisch für das Spannen der Saite (und für Wellenbewegungen schlechthin) ist, dass die einzelnen Masseelemente Δ m (also die Atome oder Moleküle der Saite) ihren x -Wert beibehalten. Sie bewegen sich also nur in w -Richtung, also senkrecht nach oben oder unten.

Die Saitenlänge hat sich beim Hochziehen vergrößert, d.h. sie ist gespannt. Der Betrag der Spannung im linken und rechten Teil der Saite sei T 1 bzw. T 2 benannt. Wir zerlegen nun die im Punkt x = x 0 in Saitenrichtung jeweils nach links (blau) und rechts (grün) rücktreibende Kraft in ihre Komponenten in x - und w -Richtung und addieren die Komponenten gleicher Richtung:

(a) x -Richtung: F x = - T 1 cos α + T 2 cos β (b) w -Richtung: F w = - T 1 sin α - T 2 sin β .

Da sich das Masseelement an der Stelle x = x 0 nur nach oben oder unten bewegt, müssen für jede Abweichung von der Ruhestellung die beiden Kraftkomponenten in x -Richtung entgegengesetzt gleich sein. Gemäß Gleichung (1a) gilt deshalb T 2 = T 1 cos α / cos β . In Gleichung (1b) eingesetzt resultiert demnach für die resultierende rücktreibende Kraft in w -Richtung

F w = - T 1 sin α + sin β cos α cos β .

Beliebig deformierte Saite

Wir behandeln nun den allgemeinen Fall einer beliebig gespannten Saite (Abb. 3) . Die Auslenkung w wird nun an jedem Ort auch auch als zeitabhängig betrachtet.

Abb.3
Beliebig deformierte Saite
Abb.4
Kräfte auf dem Masseelement Δ m

Startpunkt ist ein Masseelement Δ m der Länge Δ x in Ruhestellung an beliebiger Stelle x (Abb. 4) . Die gezeigten Tangenten definieren die obigen Winkel in Form α und β = α + Δ α . Es gilt tan α = w / x , was der Grenzwert des obigen Ausdrucks tan α = w 0 / x 0 an der Stelle x ist. Auf das Masseelement Δ m wirken folgende Kräfte:

(a) x -Richtung: 0 = - T 1 cos α + T 2 cos ( α + Δ α ) = - T x ( x , t ) + T x ( x + Δ x , t ) (b) w -Richtung: F w ( x , t ) = - T 1 sin α + T 2 sin ( α + Δ α ) . = - T w ( x , t ) + T w ( x + Δ x , t ) .

Der Zusammenhang mit Gleichung (1) besteht gemäß T 1 = T ( x , t ) und T 2 = T ( x + Δ x , t ) .

Der nächste wichtige Schritt ist die Anwendung des zweiten Newton'sche Gesetzes am Ort x . Es gilt

Δ m 2 w t 2 = F w = T w ( x + Δ x , t ) - T w ( x , t ) .

Unter Verwendung der Dichte ρ und der Querschnittsfläche q der Saite entsteht für das Masseelement Δ m = ρ q Δ x , womit sich aus Gleichung (4) ergibt

ρ q 2 w t 2 = T w ( x + Δ x , t ) - T w ( x , t ) Δ x T w x für Δ x 0 .

Gemäß der Differenzialrechnung besteht zwischen den beiden Komponenten der Spannung der Zusammenhang

T w = T x tan ( α ) = T x w x .

Durch partielle Differenziation / x entsteht

T w x = T x 2 w x 2 ,

da T x unabhängig von x ist (Gleichung (1)). Kombination der Gleichungen. (5) und (7) und Umformung führen schließlich auf

2 w t 2 = c 2 2 w x 2 mit c 2 = T x ρ q .

Dies ist die Wellengleichung für eine Ortsvariable.

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