Beliebig deformierte Saite

Wir behandeln nun den allgemeinen Fall einer beliebig gespannten Saite (Abb. 3) . Die Auslenkung $\mathit{w}$ wird nun an jedem Ort auch auch als zeitabhängig betrachtet.

Abb.3

Beliebig deformierte Saite

Abb.4

Kräfte auf dem Masseelement $\Delta \mathit{m}$

Startpunkt ist ein Masseelement $\Delta \mathit{m}$ der Länge $\Delta \mathit{x}$ in Ruhestellung an beliebiger Stelle $\mathit{x}$ (Abb. 4) . Die gezeigten Tangenten definieren die obigen Winkel in Form $\alpha$ und $\beta =\alpha +\Delta \alpha$. Es gilt $tan\alpha =\partial \mathit{w}/\partial \mathit{x}$, was der Grenzwert des obigen Ausdrucks $tan\alpha ={\mathit{w}}_0/{\mathit{x}}_0$ an der Stelle $\mathit{x}$ ist. Auf das Masseelement $\Delta \mathit{m}$ wirken folgende Kräfte:

$$\begin{array}{rrclcl}\text{(a)}\mathit{x}\text{-Richtung:}& 0& =& -{\mathit{T}}_1\cdot cos\alpha +{\mathit{T}}_2\cdot cos(\alpha +\Delta \alpha )& =& -{\mathit{T}}_{\mathit{x}}(\mathit{x},\mathit{t})+{\mathit{T}}_{\mathit{x}}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{t})\\ \text{(b)}\mathit{w}\text{-Richtung:}& {\mathit{F}}_{\mathit{w}}(\mathit{x},\mathit{t})& =& -{\mathit{T}}_1\cdot sin\alpha +{\mathit{T}}_2\cdot sin(\alpha +\Delta \alpha ).& =& -{\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x},\mathit{t})+{\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{t}).\end{array}$$

Der Zusammenhang mit Gleichung (1) besteht gemäß ${\mathit{T}}_1=\mathit{T}(\mathit{x},\mathit{t})$ und ${\mathit{T}}_2=\mathit{T}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{t})$.

Der nächste wichtige Schritt ist die Anwendung des zweiten Newton'sche Gesetzes am Ort $\mathit{x}$. Es gilt

$$\Delta \mathit{m}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{w}}{\partial {\mathit{t}}^2}={\mathit{F}}_{\mathit{w}}={\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{t})-{\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x},\mathit{t}).$$

Unter Verwendung der Dichte $\rho$ und der Querschnittsfläche $\mathit{q}$ der Saite entsteht für das Masseelement $\Delta \mathit{m}=\rho \mathit{q}\Delta \mathit{x}$, womit sich aus Gleichung (4) ergibt

$$\rho \mathit{q}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{w}}{\partial {\mathit{t}}^2}=\frac{{\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{t})-{\mathit{T}}_{\mathit{w}}(\mathit{x},\mathit{t})}{\Delta \mathit{x}}\to \frac{\partial {\mathit{T}}_{\mathit{w}}}{\partial \mathit{x}}\text{für}\Delta \mathit{x}\to 0\mathrm{.}$$

Gemäß der Differenzialrechnung besteht zwischen den beiden Komponenten der Spannung der Zusammenhang

$${\mathit{T}}_{\mathit{w}}={\mathit{T}}_{\mathit{x}}tan(\alpha )={\mathit{T}}_{\mathit{x}}\frac{\partial \mathit{w}}{\partial \mathit{x}}.$$

Durch partielle Differenziation $\partial /\partial \mathit{x}$ entsteht

$$\frac{\partial {\mathit{T}}_{\mathit{w}}}{\partial \mathit{x}}={\mathit{T}}_{\mathit{x}}\frac{{\partial }^2\mathit{w}}{\partial {\mathit{x}}^2},$$

da ${\mathit{T}}_{\mathit{x}}$ unabhängig von $\mathit{x}$ ist (Gleichung (1)). Kombination der Gleichungen. (5) und (7) und Umformung führen schließlich auf

$$\frac{{\partial }^2\mathit{w}}{\partial {\mathit{t}}^2}={\mathit{c}}^2\frac{{\partial }^2\mathit{w}}{\partial {\mathit{x}}^2}\text{mit}{\mathit{c}}^2=\frac{{\mathit{T}}_{\mathit{x}}}{\rho \mathit{q}}.$$

Dies ist die Wellengleichung für eine Ortsvariable.