Wellengleichung
Herleitung der Wellengleichung
Wir betrachten den physikalischen Ursprung der Wellengleichung zunächst am Beispiel einer eingespannten Saite. Startpunkt ist ihre Ruhestellung (Abb. 1).
Wir ziehen nun die Saite mit einem Haken an der Stelle nach oben um eine Länge und halten sie mit der Kraft in -Richtung. Die rücktreibende Kraft in -Richtung ist dann entgegengesetzt gleich. Charakteristisch für das Spannen der Saite (und für Wellenbewegungen schlechthin) ist, dass die einzelnen Masseelemente (also die Atome oder Moleküle der Saite) ihren -Wert beibehalten. Sie bewegen sich also nur in -Richtung, also senkrecht nach oben oder unten.
Die Saitenlänge hat sich beim Hochziehen vergrößert, d.h. sie ist gespannt. Der Betrag der Spannung im linken und rechten Teil der Saite sei bzw. benannt. Wir zerlegen nun die im Punkt in Saitenrichtung jeweils nach links (blau) und rechts (grün) rücktreibende Kraft in ihre Komponenten in - und -Richtung und addieren die Komponenten gleicher Richtung:
Da sich das Masseelement an der Stelle nur nach oben oder unten bewegt, müssen für jede Abweichung von der Ruhestellung die beiden Kraftkomponenten in -Richtung entgegengesetzt gleich sein. Gemäß Gleichung (1a) gilt deshalb . In Gleichung (1b) eingesetzt resultiert demnach für die resultierende rücktreibende Kraft in -Richtung
Beliebig deformierte Saite
Wir behandeln nun den allgemeinen Fall einer beliebig gespannten Saite (Abb. 3) . Die Auslenkung wird nun an jedem Ort auch auch als zeitabhängig betrachtet.
Startpunkt ist ein Masseelement der Länge in Ruhestellung an beliebiger Stelle (Abb. 4) . Die gezeigten Tangenten definieren die obigen Winkel in Form und . Es gilt , was der Grenzwert des obigen Ausdrucks an der Stelle ist. Auf das Masseelement wirken folgende Kräfte:
Der Zusammenhang mit Gleichung (1) besteht gemäß und .
Der nächste wichtige Schritt ist die Anwendung des zweiten Newton'sche Gesetzes am Ort . Es gilt
Unter Verwendung der Dichte und der Querschnittsfläche der Saite entsteht für das Masseelement , womit sich aus Gleichung (4) ergibt
Gemäß der Differenzialrechnung besteht zwischen den beiden Komponenten der Spannung der Zusammenhang
Durch partielle Differenziation entsteht
da unabhängig von ist (Gleichung (1)). Kombination der Gleichungen. (5) und (7) und Umformung führen schließlich auf
Dies ist die Wellengleichung für eine Ortsvariable.