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Separationsansatz zur Lösung partieller Differenzialgleichungen

Erläuterung zum Separationsansatz

Wir betrachten die Operatorengleichung

P ^ ( x , y ) ϕ ( x , y ) = p ϕ ( x , y ) .

P ^ ( x , y ) ist der Operator, ϕ ( x , y ) die Eigenfunktion für den Operator und p der Eigenwert für ϕ ( x , y ) , z.B. :

P ^ ( x , y ) = g 1 ( x , y ) 2 x 2 + g 2 ( x , y ) 2 y 2 .

Sonderfall: P ^ ( x , y ) lässt sich in eine Summe von Operatoren von jeweils einer Variable zerlegen

P ^ ( x , y ) = P ^ 1 ( x ) + P ^ 2 ( y ) = g 1 ( x ) 2 x 2 + g 2 ( y ) 2 y 2 .

Wir schlagen folgenden Lösungsansatz vor

ϕ ( x , y ) = u ( x ) v ( y ) Produktansatz .

Setzen wir den Ansatz ein, so ergibt sich

( P ^ 1 + P ^ 2 ) u v = p u v
v ( y ) P ^ 1 u ( x ) + u ( x ) P ^ 2 v ( y ) = p u ( x ) v ( y ) | 1 u v
P ^ 1 ( x ) u ( x ) u ( x ) nur von x abhängig + P ^ 2 ( y ) v ( y ) v ( y ) nur von y abhängig = p.
  1. / x angewendet x P ^ 1 u u + x P ^ 2 v v = 0. Also muss sein x P ^ 1 u u = 0 P ^ 1 u u = const. = p x oder P ^ 1 u = p x u .
  2. Ebenso für v ( y ) , also P ^ 2 v = p y v .

Zusammengefasst:

P ^ 1 ( x ) + P ^ 2 ( y ) ϕ ( x , y ) = p ϕ ( x , y )

wird gelöst durch den Separationsansatz

ϕ = u ( x ) v ( y ) und p = p x + p y

mit

P ^ 1 ( x ) u ( x ) = p x u ( x ) P ^ 2 ( y ) v ( y ) = p y v ( y ) zwei separate gewöhnliche DGn.

Beachte: Der Separationsansatz ist mitunter anwendbar, auch wenn die partielle DGn zunächst nicht in der obigen Summenform formuliert ist.

Hinweis
Umformung oder einfach den Produktansatz probieren!
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