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Separationsansatz zur Lösung partieller Differenzialgleichungen

Separationsansatz

Betrachten wir eine PDG für eine Funktion von zwei Variablen $u (x, t)$

F (x, t, u_{x}, u_{t}, u_{x x}, u_{x t}, u_{t t}) .

Nehmen wir folgende Anfangs- und Randbedingungen an

\begin{array}{cl} u (x, 0) = f (x) und \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = g (x) \\ u (a, t) = 0 und u (b, t) = 0, \end{array}

so kommt man häufig zur Lösung durch folgenden Satz:

Theorem: Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt darstellen lässt

Die Randbedingungen sind unabhängig von der zweiten Variablen $t$ . Nach dem Einsetzen des obigen Produktes in die PDG sollte sich nach geeigneter Umformung eine Beziehung der Form

φ (X, X', X'', x) = ψ (T, T', T'', t)

ergeben. Man sieht, dass die linke bzw. rechte Seite von lediglich von $x$ bzw. $t$ abhängt. Gleichung kann nur für beliebige Werte von $x$ und $t$ gelten, wenn sie gleich einer Konstanten ist, d.h. wenn

φ (X, X', X'', x) = λ und ψ (T, T', T'', t) = λ

ist. Die sog. Separationskonstante $λ$ kann reell oder komplex sein. Wir haben somit eine PDG von zwei Variablen in zwei gewöhnliche DGn von jeweils einer Variablen umgewandelt. Aus der Rand- und Anfangsbedingung

\begin{array}{cl} u (a, t) = X (a) \cdot T (t) = 0 \\ u (x, 0) = X (x) \cdot T (0) = f (x) \end{array}

ergeben sich zwei Möglichkeiten:

Die triviale Lösung $T (t) = 0$ für alle $t$ schließt in sich $f (x) = 0$ für alle $x$ , sodass $u (x, t) = 0$ ist für alle $x$ , $t$ .
Setzt man $T (t) \neq 0$ voraus, so folgt $X (a) = 0$ aus $X (a) \cdot T (t) = 0$ . Auf die gleiche Weise folgt $X (b) = 0$ aus $X (b) \cdot T (t) = 0$ .

Für $T (t) \neq 0$ erhält man dann folgende gewöhnliche DG für $X (x)$

φ (X, X', X'', x) = λ mit X (a) = 0, X (b) = 0.

Es handelt sich um eine Eigenwertgleichung, die normalerweise nur für diskrete Werte von $λ$ lösbar ist. Die gewöhnliche DG für $T (t)$ lässt sich mit den ermittelten Eigenwerten $λ$ lösen.