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Separationsansatz zur Lösung partieller Differenzialgleichungen

Separationsansatz

Betrachten wir eine PDG für eine Funktion von zwei Variablen u ( x , t )

F ( x , t , u x , u t , u x x , u x t , u t t ) .

Nehmen wir folgende Anfangs- und Randbedingungen an

u ( x , 0 ) = f ( x ) und u t ( x , 0 ) = g ( x ) u ( a , t ) = 0 und u ( b , t ) = 0 ,

so kommt man häufig zur Lösung durch folgenden Satz:

Theorem
Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt darstellen lässt
u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) .

Die Randbedingungen sind unabhängig von der zweiten Variablen t . Nach dem Einsetzen des obigen Produktes in die PDG sollte sich nach geeigneter Umformung eine Beziehung der Form

φ ( X , X ' , X ' ' , x ) = ψ ( T , T ' , T ' ' , t )

ergeben. Man sieht, dass die linke bzw. rechte Seite von lediglich von x bzw. t abhängt. Gleichung kann nur für beliebige Werte von x und t gelten, wenn sie gleich einer Konstanten ist, d.h. wenn

φ ( X , X ' , X ' ' , x ) = λ und ψ ( T , T ' , T ' ' , t ) = λ

ist. Die sog. Separationskonstante λ kann reell oder komplex sein. Wir haben somit eine PDG von zwei Variablen in zwei gewöhnliche DGn von jeweils einer Variablen umgewandelt. Aus der Rand- und Anfangsbedingung

u ( a , t ) = X ( a ) T ( t ) = 0 u ( x , 0 ) = X ( x ) T ( 0 ) = f ( x )

ergeben sich zwei Möglichkeiten:

  • Die triviale Lösung T ( t ) = 0 für alle t schließt in sich f ( x ) = 0 für alle x , sodass u ( x , t ) = 0 ist für alle x , t .
  • Setzt man T ( t ) 0 voraus, so folgt X ( a ) = 0 aus X ( a ) T ( t ) = 0 . Auf die gleiche Weise folgt X ( b ) = 0 aus X ( b ) T ( t ) = 0 .

Für T ( t ) 0 erhält man dann folgende gewöhnliche DG für X ( x )

φ ( X , X ' , X ' ' , x ) = λ mit X ( a ) = 0 , X ( b ) = 0.

Es handelt sich um eine Eigenwertgleichung, die normalerweise nur für diskrete Werte von λ lösbar ist. Die gewöhnliche DG für T ( t ) lässt sich mit den ermittelten Eigenwerten λ lösen.

Beispiel

Nach Substitution des Bernoulli´schen Produktansatzes in die Wellengleichung ergibt sich

X T ' ' = c 2 X ' ' T

oder

X ' ' X = T ' ' c 2 T = λ .

Daraus erhält man zwei gewöhnliche DGn

X ' ' - λ X = 0 und T ' ' - λ c 2 T = 0.

Man kann dieses Verfahren auf PDGn mit mehr als zwei unabhängigen Variablen anwenden.

Beispiel

Die Wellengleichung in zwei Dimensionen

u t t = c 2 ( u x x + u y y ) ,

enthält drei unabhängige Variablen, für die folgender Produktansatz geeignet ist

u ( x , y , t ) = X ( x ) Y ( y ) T ( t ) .
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