Separationsansatz zur Lösung partieller Differenzialgleichungen
Separationsansatz
Betrachten wir eine PDG für eine Funktion von zwei Variablen
Nehmen wir folgende Anfangs- und Randbedingungen an
so kommt man häufig zur Lösung durch folgenden Satz:
- Theorem
- Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt darstellen lässt
Die Randbedingungen sind unabhängig von der zweiten Variablen . Nach dem Einsetzen des obigen Produktes in die PDG sollte sich nach geeigneter Umformung eine Beziehung der Form
ergeben. Man sieht, dass die linke bzw. rechte Seite von lediglich von bzw. abhängt. Gleichung kann nur für beliebige Werte von und gelten, wenn sie gleich einer Konstanten ist, d.h. wenn
ist. Die sog. Separationskonstante kann reell oder komplex sein. Wir haben somit eine PDG von zwei Variablen in zwei gewöhnliche DGn von jeweils einer Variablen umgewandelt. Aus der Rand- und Anfangsbedingung
ergeben sich zwei Möglichkeiten:
- Die triviale Lösung für alle schließt in sich für alle , sodass ist für alle , .
- Setzt man voraus, so folgt aus . Auf die gleiche Weise folgt aus .
Für erhält man dann folgende gewöhnliche DG für
Es handelt sich um eine Eigenwertgleichung, die normalerweise nur für diskrete Werte von lösbar ist. Die gewöhnliche DG für lässt sich mit den ermittelten Eigenwerten lösen.
- Beispiel
Nach Substitution des Bernoulli´schen Produktansatzes in die Wellengleichung ergibt sich
oder
Daraus erhält man zwei gewöhnliche DGn
Man kann dieses Verfahren auf PDGn mit mehr als zwei unabhängigen Variablen anwenden.
- Beispiel
Die Wellengleichung in zwei Dimensionen
enthält drei unabhängige Variablen, für die folgender Produktansatz geeignet ist