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Lösungsverhalten partieller Differenzialgleichungen

Partielle Ableitungen der Funktion g ( x - c t ) + h ( x + c t )

Wir wollen die Kettenregel anwenden. f ist die Summe zweier verketteter Funktionen. Es ist zweckmäßig, wenn wir

φ - ( x , t ) = x - c t und φ + ( x , t ) = x + c t

setzen und f als

f ( x , t ) = g ( φ - ( x , t ) ) + h ( φ + ( x , t ) )

schreiben. Offenbar sind g ( φ - ( x , t ) ) und h ( φ + ( x , t ) ) verkettete Funktionen von x und t . Ihre Summe ist f ( x , t ) . Um die partielle Ableitung von f nach x zu erhalten, ist die Summe der entsprechenden partiellen Ableitungen dieser beiden Funktionen zu bilden,

f x = g ( φ - ( x , t ) ) x + h ( φ + ( x , t ) ) x .

Laut Kettenregel ist

g ( φ - ) x = φ - x d g d φ - und h ( φ + ) x = φ + x d g d φ + .

φ - / x und φ + / x sind beide gleich 1 . Da g und h ganz beliebig waren, können wir g / φ - und h / φ + nicht spezieller angeben, trotzdem aber g ' und h ' für sie schreiben, was die Formeln etwas übersichtlicher macht. Berücksichtigen wir dies, schreiben wir die Argumente wieder mit und setzen sie in ein, so erhalten wir:

f x = g ' ( x - c t ) + h ' ( x + c t ) .

Dies muss nun nochmals partiell nach x abgeleitet werden, was in ganz analoger Weise

2 f x 2 = g ' ' ( x - c t ) + h ' ' ( x + c t )

liefert. Die zweite partielle Ableitung nach t erhalten wir ebenfalls ganz analog. Sie lautet:

2 f t 2 = c 2 g ' ' ( x - c t ) + c 2 h ' ' ( x + c t ) .

Der Faktor c 2 rührt daher, dass φ - / t = - c und φ + / t = c sowie zweimal die Kettenregel angewandt wird.

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