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Lösungsverhalten partieller Differenzialgleichungen

Beispiel: Lösungsmannigfaltigkeit

Wir betrachten die PDG

u x x + u y y = 0.

Neue Variable z = x + i y

z x = 1 ; z y = + i ; u = f ( z ) = f ( x + i y ) .

Es gilt

u x x = x x u = z x z z x u z = 1 2 u z z = u z z u y y = y y u = z y z z y u z = i 2 u z z = - u z z .

Also

u x x + u y y = u z z - u z z = 0

und somit ist u = f ( x + i y ) eine Lösung, ebenso wie u = g ( x - i y ) . Die allgemeine Lösung ist

u = f ( x + i y ) + g ( x - i y ) unendlich viele Funktionen!
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