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Lösungsverhalten partieller Differenzialgleichungen

Rand- und Anfangsbedingungen

Die Lösung einer PDG in zwei unabhängigen Variablen x 1 und x 2 stellt eine Fläche u ( x 1 , x 2 ) im 3D-Raum dar. Um die Lösungsfläche eindeutig zu bestimmen, gibt es zwei Bedingungen:

Anfangsbedingung
Man gibt eine über der Fläche verlaufende Kurve und die Richtung der Tangentialebene an dieser Kurve an - dieses Gebilde bezeichnet man auch als ein Streifen.

Falls die Kurve nicht den ganzen Raum durchzieht, sondern bei den Punkten x 1 = a und x 1 = b abbricht, ergänzt man die Anfangsbedingungen durch Randbedingungen:

Randbedingung
Man gibt die Funktionswerte u ( a , x 2 ) und u ( b , x 2 ) der Lösungsfläche an.
Beispiel

Beim Problem der schwingenden Saite kommt man auf die Wellengleichung. Wir bezeichnen die Auslenkung der Saite am Ort x zur Zeit t durch u ( x , t ) . Ist die Saite von der Länge L an den Enden x = 0 und x = L für alle Zeit t befestigt, dann sind folgende Randbedingungen vorzugeben

u ( 0 , t ) = 0 und u ( L , t ) = 0.

Die Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit der Saite bilden die Anfangsbedingungen

u ( x , 0 ) = f ( x ) und u t ( x , 0 ) = g ( x ) .
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