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Lösungsverhalten partieller Differenzialgleichungen

Lösungsmannigfaltigkeit

Was die Lösung einer PDG ist, haben wir bereits kennen gelernt. Von den gewöhnlichen DGn her kennen wir die Begriffe der allgemeinen und partikulären Lösung. Die allgemeine Lösung enthielt freie Konstanten; setzte man für diese konkrete Werte ein, gelangte man zu einer partikulären Lösung. Wir haben es also mit einer Vielfalt konkreter Lösungsfunktionen zu tun, die sich alle durch die Wahl bestimmter Konstanten unterschieden. Wie sieht es nun bei den PDGn aus? Deren Lösungsverhalten ist natürlich komplizierter. Den Effekt einer Lösungsvielfalt finden wir aber auch hier. Er kann sogar noch ausgeprägter sein als bei den gewöhnlichen DGn.

Wellengleichung

2 u x 2 - 1 c 2 2 u t 2 = 0 .

Sei u eine Funktion von x und t der Gestalt

u ( x , t ) = g ( x - c t ) + h ( x + c t )

gegeben, wobei g und h irgend welche mindestens zweimal differenzierbare Funktionen einer reellen Veränderlichen sind. c soll die Konstante aus der Wellengleichung sein. Leiten wir u zweimal partiell nach x bzw. t ab, so ergibt sich (siehe Rechnung)

2 u x 2 = g ' ' ( x - c t ) + h ' ' ( x - c t ) 2 u t 2 = c 2 g ' ' ( x - c t ) + c 2 h ' ' ( x - c t ) .

Durch Einsetzen in die Wellengleichung verifiziert man den Lösungsansatz. Somit stellen z.B. folgende grundverschiedene Funktionen

u ( x , t ) = e x - c t und u ( x , t ) = log ( x - c t ) - cos ( x + c t )

mögliche Lösungen der Wellengleichung dar.

  • g ( x - c t ) beschreibt das Fortschreiten der durch die Funktion g ( x ) gegebene Auslenkung in positive x -Richtung
  • h ( x + c t ) beschreibt das Fortschreiten der durch die Funktion h ( x ) gegebene Auslenkung in negative x -Richtung

wobei c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle ist.

Die Lösungsmannigfaltigkeit bei PDGn ist zwar größer als bei den gewöhnlichen DGn aber durch zusätzliche Bedingungen kann man auch wie bei den gewöhnlichen DGn auf eine eindeutige Lösung kommen.

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