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Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen

Wichtige Begriffe

In Zukunft sollen die Abkürzungen PDG und PDGn für partielle Differenzialgleichung bzw. den Plural partielle Differenzialgleichungen stehen. Ganz ähnliche Abkürzungen hatten wir ja bei den gewöhnlichen Differenzialgleichungen eingeführt. Für den Umgang mit PDGn benötigen wir einige Fachbegriffe. Einer der wichtigsten ist folgender.

Ordnung einer partiellen Differenzialgleichung
Die Ordnung einer PDG ist die Ordnung der höchsten partiellen Ableitung der PDG.
Beispiel

Die Wellengleichung

2 f x 2 - 1 c 2 2 f t 2 = 0

hat offenbar die Ordnung 2 , ebenso die Diffusionsgleichung

2 f x 2 - 1 D f t = 0 ,

denn in beiden Fällen ist die höchste partielle Ableitung die nach dem Ort x , und diese Ableitung hat in beiden Fällen die Ordnung 2 .

Der Begriff der PDG ist noch sehr allgemein. Partielle Ableitungen können in beliebigen funktionellen Zusammenhängen vorkommen. Üblicherweise kommen partielle Ableitungen nur in Ausdrücken der Gestalt

ν f x k ν m , m ist der Grad des Faktors,

vor (also als Potenzen) sowie in Produkten solcher Ausdrücke, z.B.

2 f x 1 2 3 2 f x 2 2 4 f x 3 4 2 , Grad des Produkts ist 3 + 1 + 2 = 6 .

Eine solche PDG hätte also die Gestalt

A 1 ( x 1 , , x n ) P 1 + A 2 ( x 1 , , x n ) P 2 + + A N ( x 1 , , x n ) P N = 0 ,

wobei jedes P j ein Produkt vom Typ ist, während jedes A j ( x 1 , , x n ) eine beliebige Funktion von x 1 , , x n sein darf. Für einen Faktor der Gestalt nennen wir m den Grad des Faktors. Für ein Produkt wie nennen wir die Summe der Grade der Faktoren den Grad des Produkts. Demnach hat den Grad 6 . Schließlich vereinbaren wir:

Grad einer partiellen Differenzialgleichung
Für eine PDG vom Typ nennen wir den größten unter den P 1 , , P N vorkommenden Grad den Grad der PDG.
Beispiel

Die Wellen- und Diffusionsgleichungen, die offenbar beide vom Typ sind, haben beide den Grad 1 .

Wir haben nunmehr zwei Begriffe kennen gelernt, die eine PDG charakterisieren: Ordnung und Grad (wobei letzterer einen bestimmten Typ PDG voraussetzt). Theoretisch sind PDGn ganz beliebiger Ordnungen und Grade möglich, es ist aber wichtig zu wissen, dass wir es in Physik und Chemie praktisch nur mit Ordnungen 2 und dem Grad 1 zu tun haben. Für PDGn vom Grad 1 gibt es einen speziellen Namen:

Linearität einer partiellen Differenzialgleichung
Eine PDG vom Grad 1 heißt eine lineare PDG.

Damit können wir die Aussage von eben auch so formulieren:

Hinweis
In Physik und Chemie kommen praktisch nur lineare PDGn erster oder zweiter Ordnung vor.

Hierunter wiederum sind diejenigen zweiter Ordnung besonders wichtig. Jede lineare PDG zweiter Ordnung ist von der Form

j , k a j k ( x 1 , , x n ) 2 f x j x k + j b j ( x 1 , , x n ) f x j + c ( x 1 , , x n ) = 0 ;

a j k , b j und c sind Funktionen von x 1 , , x n , können aber auch konstant sein; die erste Summation erstreckt sich über alle j und k von 1 bis n , die zweite über alle j von 1 bis n .

Homogenität einer partiellen Differenzialgleichung
Eine PDG ist homogen für alle vorliegende x 1 , , x n , wenn c ( x 1 , , x n ) = 0 ist, sonst ist sie inhomogen.

Für PDGn des Typs gibt es ein Klassifizierungsschema in hyperbolische, parabolische, elliptische und ultrahyperbolische PDGn. Diese Klassifikation ist jedoch recht kompliziert und für uns weniger wichtig. Der interessierte Leser sei auf die Literatur verwiesen.

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