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Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen

Einführung

Hat man erst einmal verstanden, was gewöhnliche Differenzialgleichungen sind, fällt der Übergang zu den partiellen nicht schwer: In ersteren trat eine Funktion f einer Veränderlichen und deren Ableitungen f ' , f ' ' usw. auf. Ersetzen wir f durch eine Funktion mehrerer Veränderlicher und f ' , f ' ' usw. durch die partiellen Ableitungen dieser Funktion, so gelangen wir zu einer partiellen Differenzialgleichung. Also:

Partielle Differenzialgleichung
Eine partielle Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion f von mehreren Variablen x 1 , , x n , eine oder mehrere partielle Ableitungen von f und (eventuell) eine oder mehrere der Variablen x k enthält.

Wir nutzen hier die Gelegenheit, die häufig verwendete Schreibweise einzuführen.

Notation

  • Partielle Ableitungen u x = u x , 2 u x 2 = u x x oder auch x i = i x u y = x u y = u y x
  • Abkürzung für den Laplace-Operator 2D: 2 x 2 + 2 y 2 Δ 2 Δ u = u x x + u y y 3D: u x x + u y y + u z z Δ u 2 u

Betrachten wir zwei Beispiele:

Beispiel
2 f x 1 2 - 1 c 2 2 f x 2 2 = 0 .

Dabei bezeichnet c eine reelle Konstante 0 . Dies ist die sogenannte Wellengleichung in einer Dimension, wenn wir x 1 als Ort, x 2 als Zeit und f ( x 1 , x 2 ) als eine orts- und zeitabhängige physikalische Größe betrachten. Es ist dann sinnvoll, x 1 in x und x 2 in t umzubenennen, womit Gleichung die Form

2 f x 2 - 1 c 2 2 f t 2 = 0 .

annimmt. In dieser Form finden wir sie in Lehrbüchern der Physik und physikalischen Chemie.

Zum zweiten Beispiel:

Beispiel
2 f x 1 2 - 1 D f x 2 = 0 .

D ist eine reelle Konstante > 0 und f eine Funktion der beiden Veränderlichen x 1 und x 2 . Diese Differenzialgleichung unterscheidet sich von nur dadurch, dass im zweiten Summanden links die erste und nicht die zweite partielle Ableitung von f nach x 2 steht. Auch hat eine physikalische Bedeutung: Interpretieren wir wieder x 1 als Ortskoordinate und x 2 als Zeit, ferner f ( x 1 , x 2 ) als Konzentration eines gelösten Stoffes, so erhalten wir die Diffusionsgleichung in einer Dimension. Mit der Notation x und t für x 1 bzw. x 2 lautet sie:

2 f x 2 - 1 D f t = 0 .

D wäre in diesem Fall die Diffusionskonstante.

Die Mathematiker haben natürlich einen präziseren, aber weniger anschaulichen Weg gefunden, den Begriff der partiellen Differenzialgleichung zu definieren. Eine solche Gleichung lässt sich offenbar immer in der Form

F f , f x 1 , , x 1 , = 0 .

schreiben, wobei die ersten Fortsetzungspunkte für weitere partielle Ableitungen von f und die zweiten für weitere Variablen x k stehen. F ist eine Funktion mehrerer Veränderlicher, welche sich aus der Differenzialgleichung ablesen lässt. Man definiert nun:

Eine Gleichung vom Typ , mit einer unbekannten Funktion f von mehreren Variablen und einer vorgegebenen Funktion F heißt partielle Differenzialgleichung.

Was unter einer Lösung einer partiellen Differenzialgleichung zu verstehen ist, dürfte von selbst klar sein. Wir formulieren trotzdem eine Definition:

Lösung einer partiellen Differenzialgleichung
Unter einer Lösung einer partiellen Differenzialgleichung verstehen wir eine Funktion f , welche erfüllt.
Beispiel

Es lässt sich durch Substitution nachweisen, dass

f ( x , t ) = cos ( x ) e - D t

eine Lösung der Diffusionsgleichung ist.

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