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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Lösung des homogenen Systems durch Diagonalisierung der Koeffizientenmatrix

Wir betrachten ein homogenes System linearer Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y 1 ' ' ( x ) = a 11 y 1 ( x ) + a 12 y 2 ( x ) + + a 1 n y n ( x ) y 2 ' ' ( x ) = a 21 y 1 ( x ) + a 22 y 2 ( x ) + + a 2 n y n ( x ) y n ' ' ( x ) = a n 1 y 1 ( x ) + a n 2 y 2 ( x ) + + a n n y n ( x ) ,

das sich in Kurzform so schreiben lässt

y ' ' ( x ) = A y ( x ) .

Wir können A mittels der Matrix B von Eigenvektoren b i von A diagonalisieren, wenn wir annehmen, dass alle Eigenwerte λ i ( i = 1 n ) von A verschieden sind,

B -1 A B = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n , B = b 1 b 2 b n .

Multiplizieren wir von links beide Seiten von mit B -1 und nutzen wir die Identität y ( x ) = I y ( x ) = B B -1 y ( x ) , so ergibt sich

B -1 y ' ' ( x ) = B -1 A B B -1 y ( x ) .

Führen wir den Vektor

z ( x ) = B -1 y ( x )

ein, so ist das System in den transformierten Koordinaten gegeben durch

z ' ' ( x ) = B -1 A B z ( x )

oder

z 1 ' ' ( x ) = λ 1 z 1 ( x ) z 2 ' ' ( x ) = λ 2 z 2 ( x )   z n ' ' ( x ) = λ n z n ( x ) .

Das transformierte System ist entkoppelt und folglich kann man jede Gleichung in ohne Bezugnahme auf die anderen lösen. Jede Gleichung in ist eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Folglich ist die allgemeine Lösung von System für λ i 0 gegeben durch

z 1 ( x ) = C 1 e i ω 1 x + D 1 e - i ω 1 x z 2 ( x ) = C 2 e i ω 2 x + D 2 e - i ω 2 x   z n ( x ) = C n e i ω n x + D n e - i ω n x .

Dabei ist

i ω i = ( λ i ) 1 / 2 ω i reell, wenn λ i < 0

ist. Für λ i < 0 sind die Lösungen oszillatorisch, was in folgender äquivalenter Darstellung deutlicher ist:

z i ( x ) = C i cos ω i x + D i sin ω i x .

Falls ein Eigenwert λ i gleich null ist, ist die entsprechende Lösung

z i ( x ) = C i x + D i λ i = 0 .

Die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems ergibt sich aus

y ( x ) = B z ( x ) .
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