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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Normalkoordinaten

Die Bewegungsgleichung der schwingenden Kugeln ist

x ⋅⋅ = K x .

Man löst , indem man die Koordinaten ( x 1 , x 2 , x 3 ) transformiert, sodass die Gleichungen im neuen Koordinatensystem (Normalkoordinatensystem) ( q 1 , q 2 , q 3 ) entkoppelt sind. Die Koordinaten ( q 1 , q 2 , q 3 ) sind generalisierte Koordinaten, die zwecks Vereinfachung der Problemanalyse eingeführt werden. Die Matrix K im transformierten Koordinatensystem ist diagonal, ihre Diagonalelemente sind die Eigenwerte von K . Man diagonalisiert K mit der Matrix B von Eigenvektoren b i von K .

B -1 K B = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 , B = b 1 b 2 b 3 .

Multiplizieren wir von links beide Seiten von durch B -1 und nutzen wir die Identität x = I x = B B -1 x , so ergibt sich

B -1 x ⋅⋅ = B -1 K B B -1 x .

Führen wir den Vektor

q = B -1 x

ein, so ist das System in den transformierten Koordinaten gegeben durch

q ⋅⋅ = B -1 K B q

oder

q ⋅⋅ 1 = λ 1 q 1 = 0 q ⋅⋅ 2 = λ 2 q 2 = - k q 2 q ⋅⋅ 3 = λ 3 q 3 = -3 k q 3 .

Die Lösung von ist

q 1 ( t ) = C 1 t + D 1 q 2 ( t ) = C 2 e i ω 2 t + D 2 e - i ω 2 t q 3 ( t ) = C 3 e i ω 3 t + D 3 e - i ω 3 t ,

wobei

i ω 2 = ( λ 2 ) 1 / 2 i ω 3 = ( λ 3 ) 1 / 2 .

Jede Koordinate von q 1 , q 2 und q 3 entspricht einer Schwingung des Systems mit einer Frequenz, d.h. alle Kugeln schwingen mit derselben Frequenz. Diese sind die Normalschwingungen oder Eigenschwingungen des Systems. Die relativen Schwingungsweiten der Kugeln sind von den Koeffizienten der Matrix B bestimmt. Bezeichnen wir die drei verschiedenen Normalmoden mit k , so sind die Verschiebungen der Kugeln aus den Gleichgewichtslagen gegeben durch

x ( k ) ( t ) = B q ( k ) ( t ) ,

wobei

q ( 1 ) ( t ) = q 1 ( t ) 0 0 , q ( 2 ) ( t ) = 0 q 2 ( t ) 0 , q ( 3 ) ( t ) = 0 0 q 3 ( t ) .

Die allgemeine Bewegung erhält man aus der Summe der drei Normalschwingungen

x ( t ) = x ( 1 ) ( t ) + x ( 2 ) ( t ) + x ( 3 ) ( t ) = B q ( 1 ) ( t ) + q ( 2 ) ( t ) + q ( 3 ) ( t ) = B q ( t )
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