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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Schwingende Kugeln

Wir betrachten drei Kugeln mit gleicher Masse m , die durch zwei Federn mit gleicher Federkonstante k verbunden sind. Die Verschiebungen der Massen aus den Gleichgewichtslagen bezeichnen wir durch x 1 , x 2 und x 3 . Für die Bewegungsgleichungen besagt das Newton´sche Gesetz:

m x ⋅⋅ 1 = - k ( x 1 - x 2 ) m x ⋅⋅ 2 = - k ( x 2 - x 1 ) - k ( x 2 - x 3 ) m x ⋅⋅ 3 = - k ( x 3 - x 2 ) .

Setzt man m = 1 , so ergibt sich

x ⋅⋅ = K x ,

wobei

K = - k k 0 k -2 k k 0 k - k , x = x 1 x 2 x 3 .

Für schlägt man folgende Lösung vor:

x ( t ) = b ( C e i ω t + D e - i ω t ) ,

wobei b ein konstanter Vektor, C und D Konstanten und ω die jetzt zu bestimmtende Schwingungsfrequenz sind. Substituieren wir den Ansatz im System , so erhält man

- ω 2 ( C e i ω t + D e - i ω t ) b = K b ( C e i ω t + D e - i ω t )

oder

K b + ω 2 b = 0 ( K - λ I ) b = 0 ,

wobei λ = - ω 2 und I die Einheitsmatrix ist. Von der Eigenwertgleichung aus bestimmt man die möglichen Eigenwertbeträge λ . Da die Matrix K reell und symmetrisch ist, sind die entsprechenden Eigenwerte reell. Gleichung besitzt eine Lösung b 0 , wenn die Bedingung

det ( K - λ I ) = - k - λ k 0 k -2 k - λ k 0 k - k - λ = 0

erfüllt ist. Berechnen wir die Determinante

- ( k + λ ) -2 k - λ k k - k - λ - k k k 0 - k - λ = 0 - ( k + λ ) ( 2 k + λ ) ( k + λ ) - k 2 + k 2 ( k + λ ) = 0 λ ( k + λ ) ( 3 k + λ ) = 0 ,

so erhält man drei reelle Eigenwerte

λ 1 = 0 , λ 2 = - k , λ 3 = -3 k

mit entsprechenden Eigenvektoren

b ( 1 ) = 1 1 1 , b ( 2 ) = -1 0 1 , b ( 3 ) = 1 -2 1 .

Die Eigenvektoren sind orthogonal, wie man leicht feststellen kann. Eigenvektoren, die zu einem gleichen Eigenwert gehören, sind nicht unbedingt orthogonal, aber man kann sie durchs Schmidt´sche Orthonormierungsverfahren orthogonalisieren und normieren. Folglich sind die drei möglichen Lösungen

x ( 1 ) ( t ) = b ( 1 ) ( C 1 t + D 1 ) x ( 2 ) ( t ) = b ( 2 ) ( C 2 e i ω 2 t + D 2 e - i ω 2 t ) x ( 3 ) ( t ) = b ( 3 ) ( C 3 e i ω 3 t + D 3 e - i ω 3 t ) ,

wobei

i ω 2 = ( λ 2 ) 1 / 2 i ω 3 = ( λ 3 ) 1 / 2 .

Die erste Lösung stellt eine Translationsbewegung (Frequenz ω 1 = 0 ) dar. Die anderen zwei Lösungen sind Schwingungen mit den gegebenen Frequenzen ω 2 bzw. ω 3 .

Die allgemeine Lösung von ist eine Linearkombination der drei einzelnen Lösungen

x ( t ) = b ( 1 ) ( C 1 t + D 1 ) + b ( 2 ) ( C 2 e i ω 2 t + D 2 e - i ω 2 t ) + b ( 3 ) ( C 3 e i ω 3 t + D 3 e - i ω 3 t ) .

Die sechs Integrationskonstanten C 1 , D 1 , C 2 , D 2 , C 3 , D 3 bestimmt man aus den Anfangsbedingungen, d.h. aus den Anfangsorten und -geschwindigkeiten der drei Kugeln.

Jede Koordinate von x 1 , x 2 und x 3 schwingt i. Allg. mit den Frequenzen ω 1 = 0 , ω 2 und ω 3 . Mittels einer Koordinatentransformation ist es jedoch möglich, das System zu entkoppeln. Im so genannten Normalkoordinatensystem entspricht jede Normalkoordinate einer Schwingung mit nur einer Frequenz. Diese Komponentenschwingungen heißen Normalschwingungen oder Eigenschwingungen. In einem Normalmodus schwingen alle Kugeln mit derselben Frequenz. Die drei einzelnen Lösungen stellen die drei Normalmodi dar.

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