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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Nicht diagonalisierbare Koeffizientenmatrix

Als Beispiel betrachten wir das System

y 1 ' ( x ) = λ y 1 ( x ) + y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = λ y 2 ( x ) ,

das in Matrixform lautet

y ' ( x ) = A y ( x ) mit A = λ 1 0 λ .

Die Matrix A hat das charakteristische Polynom

P ( t ) = det ( A - t E ) = ( λ - t ) 2 = 0 ,

mit der zweifachen Nullstelle t = λ , d.h. A hat einen mehrfachen Eigenwert (algebraische Vielfachheit m = 2 ). Die Matrix

A - λ E = 0 1 0 0

hat Rang 1 und folglich ist A nicht diagonalisierbar, da

rg ( A - λ E ) = 1 n - m = 0

ist. Folglich ist hier die Methode durch Diagonalisierung von A nicht anwendbar. Trotzdem lässt sich leicht lösen, wenn man die letzte Gleichung zuerst löst. Sie hat die Lösung

y 2 ( x ) = c e λ x .

Nun ist die erste Gleichung in

y 1 ' = λ y 1 + c e λ x .

Sie ist inhomogen und hat die Lösung

y 1 = e λ x ( d + c x ) .

Also ist die allgemeine Lösung von

y 1 y 2 = e λ x d c + x e λ x c 0 .

hat die Form

y ( x ) = e λ x p 0 ( x ) + e λ x p 1 ( x ) ,

wobei die Komponenten von p 0 ( x ) bzw. p 1 ( x ) Polynome 0-ten bzw. 1-ten Grades sind

p 0 ( x ) = a b , p 1 ( x ) = c + d x e + f x .

Es lässt sich zeigen, dass die allgemeine Lösung für eine nichtdiagonalisierbare 2 × 2 Matrix A mit zwei reellen gleichen Eigenwerten λ ist, da es laut der Matrixtheorie eine invertierbare Matrix S mit

J = S -1 A S ,

gibt, wobei die Matrix J die so genannte Jordan-Normalform der Matrix A ist. Für ein 2 × 2 System hat J die Form

λ 0 0 μ oder λ 0 0 λ oder λ 1 0 λ .

Die Lösung des Systems in Jordan-Normalform

z ' = B -1 A B z = J z

hat die Form ( ist schon in der Jordan-Normalform) und ist mit der Lösung des originalen Systems

y ' = A y

durch die lineare Transformation

y = S z

verknüpft.

Bei einem System von n Gleichungen mit mehrfachen Eigenwerten liefert die Jordan-Normalform der Koeffizientenmatrix die Form der Lösung, aber man muss die Jordan-Normalform zuerst finden. Für einen m -fachen Eigenwert λ kann man aber die Lösung Schritt für Schritt unter Verwendung sukzessiver Ansätze

y ( x ) = e λ x p 0 ( x ) , y ( x ) = e λ x p 1 ( x ) , y ( x ) = e λ x p 2 ( x ) , ,

bestimmen, bis man m linear unabhängige Lösungen zum Eigenwert gefunden hat.

Beispiel

Lösen Sie das 3 × 3 System

y ' = A y

mit

A = 2 -3 1 0 2 4 0 0 1 .

Wie man leicht feststellen kann, hat A den zweifachen Eigenwert λ 1 = 2 mit Eigenvektor

s 1 = 1 0 0

und den Eigenwert λ 2 = 1 mit Eigenvektor

s 2 = -13 -4 1 .

Da A nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren s 1 und s 2 besitzt, bilden sie keine Basis für 3 und daher ist A nicht diagonalisierbar.

Die zugehörige Lösung des Systems zum Eigenwert λ 2 = 1 ist

y ( 3 ) = s 2 e x = -13 -4 1 e x .

Eine Lösung zum Eigenwert λ 1 = 2 ist

y ( 1 ) = s 1 e 2 x = 1 0 0 e 2 x

und wir suchen eine weitere linear unabhängige Lösung zum Eigenwert λ 1 = 2 der Form

y ( 2 ) = a + b x c + d x e + f x e 2 x .

Aus und erhält man

y ( 2 ) ' = 2 a + b + 2 b x 2 c + d + 2 d x 2e + f + 2 f x e 2 x = A y ( 2 ) = A a + b x c + d x e + f x e 2 x

und gilt, nur wenn

A a c e = 2 a + b 2 c + d 2e + f

und

A b d f = 2 b 2 d 2 f

sind. hat den Eigenvektor s 1 als Lösung, d.h.

b d f = 1 0 0

und somit wird

A a c e = 2 a + 1 2 c 2e

oder

0 -3 1 0 0 4 0 0 -1 a c e = 1 0 0 .

Aus erhält man

a = α beliebig , c = -1 / 3 , e = 0

und somit ist

y ( 2 ) = α + x -1 / 3 0 e 2 x .

Die allgemeine Lösung von ist

y = C 1 y ( 1 ) + C 2 y ( 2 ) + C 3 y ( 3 ) = C 1 1 0 0 e 2 x + C 2 α + x -1 / 3 0 e 2 x + C 3 -13 -4 1 e x .
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