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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Homogene Systeme für zwei Variable

Im Folgenden betrachten wir ein System zweier linearer homogener Differenzialgleichungen erster Ordnung mit reellen konstanten Koeffizienten

y 1 ' ( x ) = a y 1 ( x ) + b y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = c y 1 ( x ) + d y 2 ( x ) ,

das in Matrixform lautet

y ' ( x ) = A y ( x ) mit A = a b c d .

Die unabhängige Variable x könnte z.B. ein Zeitparameter sein. Dieses System heißt autonom, da x nicht explizit in den Gleichungen vorkommt, d.h. die Koeffizienten a , b , c , d sind nicht x -abhängig. Die Variablen y 1 ( x ) und y 2 ( x ) bilden die Komponenten eines Vektors, deren momentane Änderungsrate durch den Richtungsvektor

y ' ( x ) = y 1 ' ( x ) e 1 + y 2 ' ( x ) e 2 ( e 1 , e 2 Einheitsvektoren )

gegeben ist. Somit bestimmt das System den Richtungsvektor als Funktion von y 1 ( x ) und y 2 ( x ) . Stellt man y ' durch einen Pfeil auf einem Graph mit y 1 und y 2 als Achsen dar, so entsteht das Richtungsfeld oder Phasendiagramm für das System . Es vermittelt den visuellen Eindruck einer Strömung. Aus dem Richtungsfeld entnimmt man die Gestalt der Lösungskurven oder Phasenkurven von . Eine Lösungskurve ist eine Kurve, deren Tangente in jedem Punkt gleich dem dort liegenden Richtungsvektor ist. Jeder Punkt auf einer Lösungskurve ergibt ein Wertepaar ( y 1 , y 2 ) zu einem bestimmten Wert des Parameters x . Daraus entstehen auch die einzelnen Lösungskurven y 1 ( x ) und y 2 ( x ) . Die Länge der Richtungsvektoren ist unwichtig für die qualitative Bestimmung der Lösungskurven, und somit lässt sich das Vektorfeld auch mit Pfeilen gleicher Länge darstellen. Übrigens sind Punkte, in denen y ' = 0 ist, als kritische Punkte bekannt. Sie sind Lösungen des homogenen Gleichungssystem

a y 1 ( x ) + b y 2 ( x ) = 0 c y 1 ( x ) + d y 2 ( x ) = 0

und sind konstant, d.h. nicht x -abhängig.

Abb.1
Richtungsfeld

Die Animation (Abb. 1) zeigt das Richtungsfeld als Funktion der Koeffizienten a , b , c , d der Matrix A . Für bestimmte Kombinationen der Koeffizienten a , b , c , d sind geradlinige Lösungskurven im Richtungsfeld zu erkennen. Eine geradlinige Lösung in der y 1 y 2 -Ebene hat die Form

y ( x ) = f ( x ) u ,

wobei u 0 ein konstanter Vektor ist. Der Nullvektor 0 ist stets eine Lösung von und heißt die triviale Lösung. Das Differenzieren von nach x ergibt

y ' ( x ) = f ' ( x ) u

und ein Vergleich von und ergibt

f ( x ) A u = f ' ( x ) u .

Aus entnimmt man, dass

A u = λ u mit f ' ( x ) f ( x ) = λ ( konstant )

ist. ist eine trennbare lineare Differenzialgleichung erster Ordnung, deren Lösung lautet

f ( x ) = c e λ x , c beliebige Konstante .

Nach Substitution von in erhält man

y ( x ) = c e λ x u .

Gleichung deutet an, dass u ein Eigenvektor und λ der entsprechende Eigenwert der Matrix A ist. Folglich ergeben die Eigenvektoren von A die geradlinigen Lösungen des Systems in der y 1 y 2 -Ebene, d.h. Lösungen der Form

y 1 ( x ) y 2 ( x ) = c e λ x u 1 u 2

mit u 1 und u 2 konstant. Dieses ist geradlinig, da

y 2 = m y 1 mit m = u 2 u 1

ist.

Abb.2
Richtungsfeld

In der Animation (Abb. 2) sind zusätzlich zum Richtungsfeld zwei Vektoren v und A v gezeigt, wobei v ein beliebiger Vektor ist, dessen Richtung sich steuern lässt. Die Richtungen, falls vorhanden, in denen v und A v kollinear sind, sind die Eigenrichtungen, und sie markieren die geradlinigen Lösungen des Systems in der y 1 y 2 -Ebene.

Eine reelle 2 × 2 Matrix A besitzt

  1. zwei verschiedene reelle Eigenwerte, oder
  2. genau einen reellen Eigenwert, oder
  3. zwei konjugiert komplexe Eigenwerte.

Zwei verschiedene reelle Eigenwerte

Im Falle von zwei verschiedenen reellen Eigenwerten λ 1 und λ 2 hat A zwei linear unabhängige Eigenvektoren u 1 und u 2 , die als nichtkollineare geradlinigen Lösungen in der y 1 y 2 -Ebene zu sehen sind. Wegen der Linearität des Gleichungssystems ist aber die allgemeine Lösung

y ( x ) = c 1 e λ 1 x u 1 + c 2 e λ 2 x u 2 .

Die allgemeine Lösung entspricht einer beliebigen (nicht geradlinigen) Lösungskurve in der y 1 y 2 -Ebene.

Ist ein Eigenwert gleich null, z.B. die Matrix

A = 2 -1 -2 1 ,

hat einen Null-Eigenwert, dann hat das System unendlich viele kritische Punkte, die auf einer Geraden in der zum Null- Eigenwert gehörenden Eigenrichtung liegen. Die allgemeine Lösung lautet

y ( x ) = c 1 u 1 + c 2 e λ x u 2 .

Ein reeller Eigenwert

Sind die Eigenwerte reell und gleich ( λ 1 = λ 2 = λ ), dann lautet eine der Lösungen

y ( x ) = c 1 y ( 1 ) ( x ) = c 1 e λ x u .

Es muss aber gemäß der allgemeinen Theorie der linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen eine weitere Lösung y ( 2 ) ( x ) von geben, die von y ( 1 ) ( x ) linear unabhängig ist. Sie lässt sich mit dem Ansatz

y ( 2 ) ( x ) = e λ x ( x u + v ) .

finden, wobei der Vektor v zu bestimmen ist. Wie bestimmt man den Vektor v ? Differenziert man nach x , so ergibt sich

y ( 2 ) ' ( x ) = e λ x ( λ x + 1 ) u + λ e λ x v .

Es gilt auch

A y ( 2 ) ( x ) = e λ x ( λ x u + A v ) .

Laut müssen und gleich sein, woraus man erhält

u + λ v = A v .

Die allgemeine Lösung ist dann

y ( x ) = c 1 e λ x u + c 2 e λ x ( x u + v ) .

Zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Die komplexen Eigenwerte von A sind

λ = p + i q und λ * = p - i q .

Ist u = α + i β der (komplexe) Eigenvektor zu λ , dann ist u * der Eigenvektor zu λ * , da für reelle A gilt

A u = λ u A u * = λ * u * .

Die allgemeine Lösung ist

y ( x ) = c 1 e λ x u + c 2 e λ * x u * = c 1 e ( p + i q ) x ( α + i β ) + c 2 e ( p - i q ) x ( α - i β ) .

und wegen der Linearität des Gleichungssystems sind die Real- und Imaginärteile y I ( x ) und y R ( x ) von auch Lösungen, d.h.

y ( x ) = y R ( x ) + i y I ( x ) .

mit

y R ( x ) = k 1 e p x ( cos q x α - sin q x β ) y I ( x ) = k 2 e p x ( sin q x α + cos q x β )

( k 1 , k 2 beliebige Konstante) genügt

y R ' ( x ) = A y R ( x ) und y I ' ( x ) = A y I ( x ) .

Somit lässt sich die allgemeine Lösung eines Gleichungssystems mit komplexen Eigenwerten in folgender Realform schreiben

y ( x ) = y R ( x ) + y I ( x ) = k 1 e p x ( cos q x α - sin q x β ) + k 2 e p x ( sin q x α + cos q x β ) .

Schlussbemerkung

Die homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

ist zum System

y 1 ' ( x ) = y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = - a 0 y 1 ( x ) - a 1 y 2 ( x ) .

äquivalent (siehe lineare DG-Umwandlung in ein System erster Ordnung). Die Koeffizientenmatrix des Systems

A = 0 1 - a 0 - a 1

besitzt das charakteristische Polynom

λ 2 + λ a 1 + a 0 = 0 ,

das der charakteristischen Gleichung der Differenzialgleichung entspricht.

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