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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Homogene Systeme für zwei Variable

Im Folgenden betrachten wir ein System zweier linearer homogener Differenzialgleichungen erster Ordnung mit reellen konstanten Koeffizienten

\begin{array}{lcl} y_{1}' (x) & = & a y_{1} (x) + b y_{2} (x) \\ y_{2}' (x) & = & c y_{1} (x) + d y_{2} (x), \end{array}

das in Matrixform lautet

y' (x) = A y (x) mit A = (\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}) .

Die unabhängige Variable $x$ könnte z.B. ein Zeitparameter sein. Dieses System heißt autonom, da $x$ nicht explizit in den Gleichungen vorkommt, d.h. die Koeffizienten $a, b, c, d$ sind nicht $x$ -abhängig. Die Variablen $y_{1} (x)$ und $y_{2} (x)$ bilden die Komponenten eines Vektors, deren momentane Änderungsrate durch den Richtungsvektor

y' (x) = y_{1}' (x) e_{1} + y_{2}' (x) e_{2} (e_{1}, e_{2} Einheitsvektoren)

gegeben ist. Somit bestimmt das System den Richtungsvektor als Funktion von $y_{1} (x)$ und $y_{2} (x)$ . Stellt man $y'$ durch einen Pfeil auf einem Graph mit $y_{1}$ und $y_{2}$ als Achsen dar, so entsteht das Richtungsfeld oder Phasendiagramm für das System . Es vermittelt den visuellen Eindruck einer Strömung. Aus dem Richtungsfeld entnimmt man die Gestalt der Lösungskurven oder Phasenkurven von . Eine Lösungskurve ist eine Kurve, deren Tangente in jedem Punkt gleich dem dort liegenden Richtungsvektor ist. Jeder Punkt auf einer Lösungskurve ergibt ein Wertepaar $(y_{1}, y_{2})$ zu einem bestimmten Wert des Parameters $x$ . Daraus entstehen auch die einzelnen Lösungskurven $y_{1} (x)$ und $y_{2} (x)$ . Die Länge der Richtungsvektoren ist unwichtig für die qualitative Bestimmung der Lösungskurven, und somit lässt sich das Vektorfeld auch mit Pfeilen gleicher Länge darstellen. Übrigens sind Punkte, in denen $y' = 0$ ist, als kritische Punkte bekannt. Sie sind Lösungen des homogenen Gleichungssystem

\begin{array}{lcl} a y_{1} (x) + b y_{2} (x) & = & 0 \\ c y_{1} (x) + d y_{2} (x) & = & 0 \end{array}

und sind konstant, d.h. nicht $x$ -abhängig.

Mouse

Abb.1: Richtungsfeld

Die Animation (Abb. 1) zeigt das Richtungsfeld als Funktion der Koeffizienten $a, b, c, d$ der Matrix $A$ . Für bestimmte Kombinationen der Koeffizienten $a, b, c, d$ sind geradlinige Lösungskurven im Richtungsfeld zu erkennen. Eine geradlinige Lösung in der $y_{1} y_{2}$ -Ebene hat die Form

y (x) = f (x) u,

wobei $u \neq 0$ ein konstanter Vektor ist. Der Nullvektor $0$ ist stets eine Lösung von und heißt die triviale Lösung. Das Differenzieren von nach $x$ ergibt

y' (x) = f' (x) u

und ein Vergleich von und ergibt

f (x) A u = f' (x) u .

Aus entnimmt man, dass

A u = λ u mit \frac{f' (x)}{f (x)} = λ (konstant)

ist. ist eine trennbare lineare Differenzialgleichung erster Ordnung, deren Lösung lautet

f (x) = c e^{λ x}, c beliebige Konstante .

Nach Substitution von in erhält man

y (x) = c e^{λ x} u .

Gleichung deutet an, dass $u$ ein Eigenvektor und $λ$ der entsprechende Eigenwert der Matrix $A$ ist. Folglich ergeben die Eigenvektoren von $A$ die geradlinigen Lösungen des Systems in der $y_{1} y_{2}$ -Ebene, d.h. Lösungen der Form

(\begin{array}{rcl} y_{1} (x) \\ y_{2} (x) \end{array}) = c e^{λ x} (\begin{array}{rcl} u_{1} \\ u_{2} \end{array})

mit $u_{1}$ und $u_{2}$ konstant. Dieses ist geradlinig, da

y_{2} = m y_{1} mit m = \frac{u_{2}}{u_{1}}

ist.

Mouse

Abb.2: Richtungsfeld

In der Animation (Abb. 2) sind zusätzlich zum Richtungsfeld zwei Vektoren $v$ und $A v$ gezeigt, wobei $v$ ein beliebiger Vektor ist, dessen Richtung sich steuern lässt. Die Richtungen, falls vorhanden, in denen $v$ und $A v$ kollinear sind, sind die Eigenrichtungen, und sie markieren die geradlinigen Lösungen des Systems in der $y_{1} y_{2}$ -Ebene.

Eine reelle $2 \times 2$ Matrix $A$ besitzt

zwei verschiedene reelle Eigenwerte, oder
genau einen reellen Eigenwert, oder
zwei konjugiert komplexe Eigenwerte.

Zwei verschiedene reelle Eigenwerte

Im Falle von zwei verschiedenen reellen Eigenwerten $λ_{1}$ und $λ_{2}$ hat $A$ zwei linear unabhängige Eigenvektoren $u_{1}$ und $u_{2}$ , die als nichtkollineare geradlinigen Lösungen in der $y_{1} y_{2}$ -Ebene zu sehen sind. Wegen der Linearität des Gleichungssystems ist aber die allgemeine Lösung

y (x) = c_{1} e^{λ_{1} x} u_{1} + c_{2} e^{λ_{2} x} u_{2} .

Die allgemeine Lösung entspricht einer beliebigen (nicht geradlinigen) Lösungskurve in der $y_{1} y_{2}$ -Ebene.

Ist ein Eigenwert gleich null, z.B. die Matrix

A = (\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}),

hat einen Null-Eigenwert, dann hat das System unendlich viele kritische Punkte, die auf einer Geraden in der zum Null- Eigenwert gehörenden Eigenrichtung liegen. Die allgemeine Lösung lautet

y (x) = c_{1} u_{1} + c_{2} e^{λ x} u_{2} .

Ein reeller Eigenwert

Sind die Eigenwerte reell und gleich ( $λ_{1} = λ_{2} = λ$ ), dann lautet eine der Lösungen

y (x) = c_{1} y^{(1)} (x) = c_{1} e^{λ x} u .

Es muss aber gemäß der allgemeinen Theorie der linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen eine weitere Lösung $y^{(2)} (x)$ von geben, die von $y^{(1)} (x)$ linear unabhängig ist. Sie lässt sich mit dem Ansatz