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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Lösung des homogenen Systems durch Diagonalisierung der Koeffizientenmatrix

Wir betrachten ein homogenes System linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y 1 ' ( x ) = a 11 y 1 ( x ) + a 12 y 2 ( x ) + + a 1 n y n ( x ) y 2 ' ( x ) = a 21 y 1 ( x ) + a 22 y 2 ( x ) + + a 2 n y n ( x ) y n ' ( x ) = a n 1 y 1 ( x ) + a n 2 y 2 ( x ) + + a n n y n ( x ) ,

das sich in Kurzform so schreiben lässt:

y ' ( x ) = A y ( x ) .

Wir können A mittels der Matrix B von Eigenvektoren b i von A diagonalisieren, wenn wir annehmen, dass alle Eigenwerte λ i ( i = 1 n ) von A verschieden sind:

B -1 A B = D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n ,

mit

B = b 1 b 2 b n .

Multiplizieren wir von links beide Seiten von mit B -1 und nutzen wir die Identität y ( x ) = E y ( x ) = B B -1 y ( x ) , so ergibt sich:

B -1 y ' ( x ) = B -1 A B B -1 y ( x ) .

Führen wir den Vektor

z ( x ) = B -1 y ( x )

ein, so ist das System in den transformierten Koordinaten gegeben durch

z ' ( x ) = B -1 A B z ( x )

oder

z 1 ' ( x ) = λ 1 z 1 ( x ) z 2 ' ( x ) = λ 2 z 2 ( x ) z n ' ( x ) = λ n z n ( x ) .

Das transformierte System ist entkoppelt und folglich kann man jede Gleichung in ohne Bezugnahme auf die anderen lösen. Die allgemeine Lösung vom System ist

z 1 ( x ) = C 1 e λ 1 x z 2 ( x ) = C 2 e λ 2 x z n ( x ) = C n e λ n x .

C 1 , C 2 , , C n sind beliebige Konstanten. Die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems ergibt sich aus

y ( x ) = B z ( x ) .

Fürs Anfangswertproblem y ( x 0 ) = y 0 lassen sich die Konstanten C 1 , C 2 , , C n berechnen. Aus ergibt sich

C 1 = z 1 ( x 0 ) e - λ 1 x 0 C 2 = z 2 ( x 0 ) e - λ 2 x 0 C n = z n ( x 0 ) e - λ n x 0

mit

z ( x 0 ) = B -1 y ( x 0 ) = B -1 y 0 .

Besitzt A mehrfache Eigenwerte, dann ist diese Methode auch anwendbar, vorausgesetzt dass A diagonalisierbar ist.

Lösung durch das Matrixexponential

Das Gleichungssystem in Matrixform mit dem Anfangswert y ( x 0 ) = y 0 hat die partikuläre Lösung

y ( x ) = e A ( x - x 0 ) y 0 ,

wobei e A ( x - x 0 ) ein Matrixexponential ist.

Beweis

Für eine konstante Matrix A gilt (siehe Differenziation und Integration von Matrizen)

d e A ( x - x 0 ) d x = A e A ( x - x 0 ) = e A ( x - x 0 ) A .

Differenziert man und setzt man wieder in das Ergebnis ein, so ergibt sich

y ' ( x ) = A e A ( x - x 0 ) y 0 = A y .

Folglich entspricht die Lösung des Gleichungssystems der Berechnung des Matrixexponentials e A ( x - x 0 ) . Ist A diagonalisierbar, dann ist (siehe Link)

e A ( x - x 0 ) = B e D ( x - x 0 ) B -1

und somit ist die Lösung

y ( x ) = B e D ( x - x 0 ) B -1 y 0 ,

die im Einklang mit und ist.

Beweis

in Matrixexponentialform ist

z = e D x c ,

und somit ist

y = B z = B e D x c .

lautet

c = e - D x 0 z 0 = e - D x 0 B -1 y 0 ,

und folglich ergibt sich wieder

y ( x ) = B e D ( x - x 0 ) B -1 y 0 .
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