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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Homogene Systeme für zwei Variable: Beispiel

Wir betrachten folgendes System

y 1 ' = y 1 + 2 y 2 y 2 ' = 8 y 1 + y 2 .

In Matrixnotation lässt sich folgendermaßen schreiben:

y 1 ' y 2 ' = 1 2 8 1 y 1 y 2 oder y ' ( x ) = A y ( x ) .

Als Lösung schlagen wir folgenden Ansatz vor

y 1 y 2 = b 1 e λ x b 2 e λ x = b 1 b 2 e λ x oder y ( x ) = b e λ x ,

wobei die Koeffizienten b 1 , b 2 für die möglichen Werte des unbekannten Parameters λ zu bestimmen sind. Substituieren wir den Ansatz im System und multiplizieren wir beide Seiten mit e - λ x , d.h.

λ b 1 e λ x = b 1 e λ x + 2 b 2 e λ x | e - λ x λ b 2 e λ x = 8 b 1 e λ x + 1 b 2 e λ x | e - λ x ,

so erhalten wir eine Eigenwertgleichung

1 b 1 + 2 b 2 = λ b 1 8 b 1 + 1 b 2 = λ b 2 oder A b = λ b .

Gestalten wir so um

A b - λ b = 0 ,

so ergibt sich bei Einführung der Einheitsmatrix

I = 1 0 0 1
( A - λ I ) b = 0 .

Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem. Eine nichttriviale Lösung b 0 existiert nur, wenn die charakteristische Matrix A - λ I singulär ist, d.h. wenn die Determinante der charakteristischen Matrix verschwindet

det ( A - λ I ) = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0 .

Es ist dann

1 - λ 2 8 1 - λ = ( 1 - λ ) 2 - 16 = 0.

Lösen der quadratischen Gleichung ergibt Werte für die Parameter λ

( 1 - λ ) = ± 4 , λ 1 = -3 , λ 2 = 5.

Setzen wir diese Werte in , so ist für λ = -3

[ 1 - ( -3 ) ] b 1 + 2 b 2 = 0 8 b 1 + [ 1 - ( -3 ) ] b 2 = 0 2 b 1 + b 2 = 0 b 1 = C 1 , b 2 = -2 C 1 ,

wobei C 1 eine beliebige Konstante ist. Eine Lösung von ist dann

y ( 1 ) = y 1 ( 1 ) y 2 ( 1 ) = 1 -2 e -3 x ,

wobei C 1 = 1 gesetzt wurde. Für λ = 5 erhalten wir auf gleiche Weise

[ 1 - ( 5 ) ] b 1 + 2 b 2 = 0 8 b 1 + [ 1 - ( 5 ) ] b 2 = 0 2 b 1 - b 2 = 0 b 1 = C 2 , b 2 = 2 C 2 ,

wobei C 2 noch eine beliebige Konstante ist. Daraus ergibt sich eine andere Lösung von

y ( 2 ) = y 1 ( 2 ) y 2 ( 2 ) = 1 2 e 5 x ,

wobei C 2 = 1 gesetzt wurde. Man sieht, dass die Lösungen und voneinander linear unabhängig sind, da die Determinante

y 1 ( 1 ) y 1 ( 2 ) y 2 ( 1 ) y 2 ( 2 ) = e -3 x e 5 x -2 e -3 x 2 e 5 x = 4 e 2 x

für ein endliches x nicht verschwindet. Folglich ist die allgemeine Lösung von eine Linearkombination von und mit den beliebigen Konstanten C 1 und C 2

y ( x ) = C 1 y ( 1 ) ( x ) + C 2 y ( 2 ) ( x ) .
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