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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Lineare Systeme erster Ordnung

Lineare Systeme spielen eine große Rolle in der Physik und Chemie, da sehr viele physikalische Erscheinungen superponierbar sind, d.h. die Eigenschaft besitzen, dass die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist. Unter der Voraussetzung, dass sich die Gleichungen nach den Ableitungen der unbekannten Funktionen auflösen lassen, schreibt man das System von n Gleichungen in n unbekannte Funktionen so

y 1 ' ( x ) = a 11 ( x ) y 1 ( x ) + a 12 ( x ) y 2 ( x ) + + a 1 n ( x ) y n ( x ) + g 1 ( x ) y 2 ' ( x ) = a 21 ( x ) y 1 ( x ) + a 22 ( x ) y 2 ( x ) + + a 2 n ( x ) y n ( x ) + g 2 ( x ) y n ' ( x ) = a n 1 ( x ) y 1 ( x ) + a n 2 ( x ) y 2 ( x ) + + a n n ( x ) y n ( x ) + g n ( x ) .

Um die Schreibweise zu vereinfachen, wählen wir die kompaktere Matrixnotation. Wir führen folgende Vektoren

y ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y n ( x ) , y ' ( x ) = y 1 ' ( x ) y 2 ' ( x ) y n ' ( x ) , g ( x ) = g 1 ( x ) g 2 ( x ) g n ( x )

und die Matrix von Koeffizienten

A ( x ) = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n

ein. Das System lässt sich nun so schreiben

y ' ( x ) = A ( x ) y ( x ) + g ( x ) .
Tab.1
Notation
Koeffizienten a i j ( x )
Koeffizientenmatrix (gebildet aus den Koeffizienten) A ( x )
Lösungen y i ( x )
Lösungsvektor (Komponenten sind die Lösungen y i ( x ) ) y ( x )
Ableitung des Lösungsvektors y ' ( x )
Störglieder g i ( x )
Störvektor g ( x )

Sind alle g i ( x ) gleich Null, dann bezeichnet man das System als homogen, andernfalls als inhomogen. Eine Lösung y ( x ) des Systems erfüllt die Gleichung . Gemäß der allgemeinen Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen gibt es n linear unabhängige Lösungen

y ( 1 ) ( x ) , y ( 2 ) ( x ) , , y ( n ) ( x ) ,

die das fundamentale Lösungssystem bilden. Das Fundamentalsystem bildet eine Basis für den Lösungsraum. Die allgemeine Lösung von ist wegen der Linearität eine Linearkombination der n linear unabhängigen Lösungen, und enthält somit n beliebige Konstanten C i

y ( x ) = C 1 y ( 1 ) ( x ) + C 2 y ( 2 ) ( x ) + + C n y ( n ) ( x ) .

Wir werden uns hier auf die Lösung von homogenen Systemen (Störvektor g ( x ) = 0 ) mit konstanten Koeffizienten konzentrieren, d.h. auf Systeme der Form

y ' ( x ) = A y ( x ) .

Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten treten beispielsweise bei der Reaktionskinetik auf.

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