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Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung

Einführung

Wir betrachten eine Folgereaktion mit einem Geschwindigkeitsgesetz erster Ordnung, bei der ein Stoff A in einen Stoff B , und dieser wiederum in einen Stoff C umgewandelt wird:

A B C .

Ein anderes Beispiel dafür ist der radioaktive Zerfall von Mutter- und Tochtersubstanz. Dieser Vorgang wird durch drei Differenzialgleichungen beschrieben:

d [ A ] d t = - k 1 [ A ] d [ B ] d t = k 1 [ A ] - k 2 [ B ] d [ C ] d t = k 2 [ B ] .

[ X ] bezeichnet die jeweilige Konzentration des Stoffes, k 1 , k 2 sind die Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten. Wir stellen fest, dass die Variable [ A ] nicht nur in der ersten, sondern auch in der zweiten Gleichung vorkommt. Ebenso tritt [ B ] in der zweiten und dritten Gleichung auf. Man sagt, ein System gekoppelter Differenzialgleichungen liegt vor. Ferner ist das System linear in den Unbekannten [ A ] , [ B ] , [ C ] , deren Koeffizienten k 1 , k 2 konstant (nicht t -abhängig) sind. Das System ist auch homogen, da keine explizite Funktion von t auf der rechten Seite vorkommt.

Systeme von Differenzialgleichungen lassen sich leichter in der Matrixnotation handhaben. In Matrixform lautet

d [ A ] d t d [ B ] d t d [ C ] d t = - k 1 0 0 k 1 - k 2 0 0 k 2 0 [ A ] [ B ] [ C ]

oder

y ' ( t ) = A y ( t ) .

Durch eine geeignete lineare Transformation der abhängigen Variablen lässt sich mitunter ein System erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten für n unbekannte Funktionen in n unabhängige Differenzialgleichungen erster Ordnung in einer Variable entkoppeln (die lineare Transformation lässt sich durch Lösung des Eigenwertproblems der Koeffizientenmatrix A ermitteln). Für das obige Beispiel ist aber eine Lösung ohne Variablentransformation möglich. Die erste Gleichung in ist sofort lösbar, ihre Lösung ermöglicht eine Lösung der zweiten Gleichung und diese wiederum eine Lösung der dritten Gleichung. Bei Vorgabe der Konzentrationen zu Beginn [ A ] 0 , [ B ] 0 und [ C ] 0 lässt sich eine partikuläre Lösung des Gleichungssystems bestimmen (siehe Link).

Jede Differenzialgleichung höherer Ordnung lässt sich durch eine Transformation der abhängigen Variablen in ein Differenzialgleichungssystem erster Ordnung umwandeln. Die Newton´sche Bewegungsgleichung

m d 2 x d t 2 = F ( t , x )

ist beispielsweise zum folgenden System äquivalent:

d x d t = p m d p d t = F ( t , x )

( F ist die Kraft und p ist der Impuls). Systeme von Differenzialgleichungen erster Ordnung nennt man auch dynamische Systeme wegen der Beziehung zur Newton´schen Bewegungsgleichung.

Nichtlineare Differenzialgleichungssysteme erster Ordnung treten in der Chemie und der Biologie auf. Das Räuber-Beute-Modell bzw. das erste Lotka-Volterra-Gesetz beschreibt z.B. die Wechselwirkungen zwischen den Populationen von Räubern y ( t ) und Beutetieren x ( t ) in einem ökologischen System:

d x d t = x ( t ) ( a - b y ( t ) ) d y d t = y ( t ) ( - c + d x ( t ) )

( a , b , c , d positive Konstanten). Dabei können zeitlich periodische Änderungen (Oszillationen) der Populationen von Räubern und Beutetieren auftreten.

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