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Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung

Umwandlung in ein System erster Ordnung

Eine gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen n -ter Ordnung

y ( n ) + p n -1 ( x ) y ( n -1 ) + + p 2 ( x ) y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) ,

mit den n Anfangsbedingungen

y ( x 0 ) = b 0 , y ' ( x 0 ) = b 1 , , y ( n -1 ) ( x 0 ) = b n

lässt sich in ein System von n linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung umwandeln. Wir schreiben in folgender Form

y ( n ) ( x ) = f ( x , y ( x ) , y ' ( x ) , , y ( n -1 ) )

und wir definieren n neue Variable

y 1 ( x ) = y ( x ) y 2 ( x ) = y ' ( x ) y n ( x ) = y ( n -1 ) ( x ) .

Dann ist

y 1 ' ( x ) = y ' ( x ) y 2 ' ( x ) = y ' ' ( x ) y n ' ( x ) = y ( n ) ( x ) .

Aus , und ergibt sich

y 1 ' ( x ) = y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = y 3 ( x ) y n -1 ' ( x ) = y n ( x ) y n ' ( x ) = f ( x , y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , , y n ( x ) )

mit

y 1 ( x 0 ) = b 0 , y 2 ( x 0 ) = b 1 , , y n ( x 0 ) = b n ,

d.h. y 1 ( x ) = y ( x ) löst die Differenzialgleichung .

Der Satz von Picard-Lindelöf über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems

y ' = f ( x , y ) mit y ( x 0 ) = b 0 .

lässt sich durch Erweiterung auf das System anwenden und somit auf die ursprüngliche Differenzialgleichung .

Beispiel

Die homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

lässt sich durch die Transformation

y 1 ( x ) = y ( x ) y 2 ( x ) = y ' ( x )

in ein System erster Ordnung umwandeln

y 1 ' ( x ) = y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = - a 0 y 1 ( x ) - a 1 y 2 ( x )

(siehe Homogene Systeme für zwei Variablen). Jede Differenzialgleichung zweiter Ordnung in expliziter Form

y ' ' ( x ) = f ( x , y ( x ) , y ' ( x ) )

lässt sich in die Form

y 1 ' ( x ) = y 2 ( x ) y 2 ' ( x ) = f ( x , y 1 ( x ) , y 2 ( x ) )

überführen.

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