zum Directory-modus

Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung

Lineare Differenzialgleichungen n -ter Ordnung

Wir betrachten eine gewöhnliche linear-inhomogene Differenzialgleichung n -ter Ordnung der Form

y ( n ) + p n -1 ( x ) y ( n -1 ) + + p 2 ( x ) y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) ,

wobei p 0 ( x ) , p 1 ( x ) , , p n -1 ( x ) und q ( x ) kontinuierlich in einem Intervall J sind.

Homogener Fall q ( x ) = 0

y ( n ) + p n -1 ( x ) y ( n -1 ) + + p 2 ( x ) y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 .

Wir werden hier die Ergebnisse für linear-homogene Differenzialgleichungen erster Ordnung verallgemeinern.

Theorem
Eine beliebige Linearkombination von Lösungen einer linear-homogenen Differenzialgleichung n -ter Ordnung ist auch eine Lösung der Gleichung.
Theorem
Seien y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , , y n ( x ) linear unabhängige Lösungen von in einem Intervall J , c i . Dann ist die allgemeine Lösung y 0 ( x ) in J der Form
y 0 ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + + c n y n ( x ) .

Man stellt fest, dass die Lösungen y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , , y n ( x ) linear unabhängig voneinander sind, wenn die Wronski-Determinante W nicht gleich null ist, d.h. wenn

W = y 1 y 2 y n y 1 ' y 2 ' y n ' y 1 ( n - 1 ) y 2 ( n - 1 ) y n ( n - 1 ) 0.

In diesem Fall spricht man von einem fundamentalen Lösungssystem oder Fundamentalsystem.

Inhomogener Fall q ( x ) 0

Theorem
Die allgemeine Lösung y ( x ) einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung n -ter Ordnung ist gleich der allgemeinen Lösung y 0 ( x ) der zugehörigen homogenen Gleichung plus einer partikulären Lösung y p ( x ) der inhomogenen Gleichung:
y ( x ) = y 0 ( x ) + y p ( x ) .

Anfangswertproblem

Die allgemeine Lösung y ( x ) einer linearen Differenzialgleichung n -ter Ordnung enthält n beliebige Konstanten, da n Integrationen für eine Lösung benötigt werden. Mit den n Anfangsbedingungen

y ( x 0 ) = b 0 , y ' ( x 0 ) = b 1 , , y ( n -1 ) ( x 0 ) = b n

gibt es n Gleichungen für die Integrationskonstanten, die die eindeutige Lösung bestimmen.

<Seite 1 von 2