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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Beispiel: Feldverteilung eines magnetischen Dipols

Abb.1
Feldverteilung eines magnetischen Dipols auf der x z -Ebene. Der eingezeichnete Pfeil stellt den magnetischen Dipolmomentvektor μ m dar.

Wir berechnen das magnetische Induktionsfeld, das sich aus einem elektrischen Stromkreis (Radius a ) in der x y -Ebene von Fläche A = π a 2 und Strom I ergibt. Die Mitwirkung eines Stromelements d l zum magnetischen Vektorpotenzial ist

d A = μ 0 I d l 4 π r .

In Kugelkoordinaten (siehe Krummlinige Koordinatensysteme) ( r , θ , φ ) zeigt diese Gleichung, dass A wegen der Symmetrie des Systems nur eine von φ unabhängige φ -Komponente hat

A = φ A φ ( r , θ ) .

Das magnetische Vektorpotenzial genügt

rot rot A = μ 0 J ,

wobei die Stromdichte J außerhalb des Stromkreises überall null ist. Setzt man

A φ ( r , θ ) = R ( r ) Θ ( θ ) ,

ergeben sich aus zwei Differenzialgleichungen

r 2 d 2 R d r 2 + 2 d R d r - n ( n + 1 ) R = 0 d 2 Θ d θ 2 + cot θ d Θ d θ + n ( n + 1 ) Θ - Θ sin 2 θ = 0.

Die zweite erkennt man als die zugeordnete Legendre´sche Differenzialgleichung mit m = 1 , d.h.

Θ ( θ ) = P n 1 ( cos θ ) .

Nach weiteren (komplizierten) Berechnungsschritten ergibt sich

A φ ( r , θ ) = a r 2 n = 0 c 2 n +1 a r 2 n P 2 n +1 1 ( cos θ ) ,

wobei die c 2 n +1 Konstanten sind. Für r a dominiert das erste Glied

A φ ( r , θ ) = μ 0 I A P 1 1 ( cos θ ) 4 π r 2 = μ 0 μ m sin θ 4 π r 2 ,

das den üblichen Ausdruck für das magnetische Dipolvektorpotenzial darstellt, wobei μ m = I A das Dipolmoment ist. Das magnetische Induktionsfeld B ist durch die Rotation des Vektorpotenzials

B = rot A

gegeben und ergibt

B r ( r , θ ) = μ 0 I a 2 2 r 3 P 1 ( cos θ ) - P 3 ( cos θ ) 3 2 a r 2 + B θ ( r , θ ) = μ 0 I a 2 4 r 3 P 1 1 ( cos θ ) - P 3 1 ( cos θ ) 3 4 a r 2 + .

In der ersten Ordnung stimmt das magnetische Induktionsfeld des elektrischen Stromkreises mit dem Feld eines elektrischen Dipols überein, und daher heißt es magnetischer Dipol.

Abb.2
Die Feldverteilung eines magnetischen Dipols in drei Dimensionen zeigt eine Kugelsymmetrie. Der eingezeichnete Pfeil stellt den magnetischen Dipolmomentvektor μ m dar.
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