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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Beispiel: Feldverteilung eines elektrischen Dipos

Abb.1
Elektrostatische Feldlinien eines elektrischen Dipoles auf der x z -Ebene. Der eingezeichnete Pfeil stellt den elektrischen Dipolmomentvektor μ e dar.

Der elektrische Dipol entspricht zwei Ladungen q 1 = + q und q 2 = - q auf der z -Achse mit den zugehörigen Ortsvektoren r 1 = a k und r 2 = - a k . Das elektrostatische Potenzial des Dipols ist

V ( r ) = q 4 π ε 0 1 r 1 - 1 r 2 ,

in Kugelkoordinaten (siehe Krummlinige Koordinatensysteme) ( r , θ , φ )

r 1 = r 2 + a 2 - 2 a r cos θ r 2 = r 2 + a 2 + 2 a r cos θ .

Die geographische Längenkoordinate φ fehlt wegen der Kugelsymmetrie des Potenzials

V ( r ) = q 4 π ε 0 r 1 - 2 a r cos θ + a r 2 -1 / 2 - 1 + 2 a r cos θ + a r 2 -1 / 2 .

Der Ausdruck lässt sich mittels des binomischen Satzes in eine Reihe von Legendre´schen Polynomen entwickeln:

V ( r ) = q 4 π ε 0 r n = 0 P n ( cos θ ) a r n - n = 0 P n ( cos θ ) ( -1 ) n a r n = 2 q 4 π ε 0 r P 1 ( cos θ ) a r + P 3 ( cos θ ) a r 3 + .

Für r a dominiert das erste Glied

V ( r ) = 2 a q P 1 ( cos θ ) 4 π ε 0 r 2 = μ e cos θ 4 π ε 0 r 2 ,

das den üblichen Ausdruck für das elektrische Dipolpotenzial aufweist, wobei μ e = 2 a q das Dipolmoment ist. Das elektrostatische Feld ist durch den Vektorgradienten des elektrostatischen Potenzials gegeben

E = - grad V

und ergibt

E r ( r , θ ) = q a π ε 0 r 3 P 1 ( cos θ ) + 2 P 3 ( cos θ ) a r 2 + E θ ( r , θ ) = q a 2 π ε 0 r 3 P 1 1 ( cos θ ) + P 3 1 ( cos θ ) a r 2 + .

In der ersten Ordnung stimmt das elektrostatische Feld des Dipols mit dem Feld eines magnetischen Dipols überein.

Abb.2
Die Feldverteilung eines elektrischen Dipols in drei Dimensionen zeigt eine Kugelsymmetrie. Der eingezeichnete Pfeil stellt den elektrischen Dipolmomentvektor μ e dar.
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