Laguerre´sche Differenzialgleichung

Die Laguerre´sche Differenzialgleichung lautet

$$\mathit{x}\mathit{y}\text{'}\text{'}+(1-\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+\mathit{a}\mathit{y}=0,\mathit{a}=\text{beliebige reelle Zahl}.$$

Sie wird unter Verwendung eines Potenzreihenansatzes gelöst. Ist $\mathit{a}$ eine ganze Zahl $\mathit{a}=0,1,2,\dots$, so sind die Lösungen die Laguerre´schen Polynome

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{L}}_{\mathit{n}}(\mathit{x})\mathit{n}=0,1,2,\dots ,$$

wobei

$${\mathit{L}}_0(\mathit{x})=1,{\mathit{L}}_1(\mathit{x})=-\mathit{x}+2,{\mathit{L}}_2(\mathit{x})={\mathit{x}}^2-4\mathit{x}+2,\dots .$$

Die Laguerre´schen Polynome lassen sich durch folgende Formel erzeugen

$${\mathit{L}}_{\mathit{n}}(\mathit{x})=exp(\mathit{x})\frac{{\text{d}}^{\mathit{n}}}{\text{d}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}}[{\mathit{x}}^{\mathit{n}}exp(-\mathit{x})].$$

In der quantenmechanischen Beschreibung des Wasserstoff-Atoms werden die zugeordneten Laguerre´schen Polynome benötigt, die durch

$${\mathit{L}}_{\mathit{n}}^{\mathit{k}}(\mathit{x})=(-1{)}^{\mathit{k}}\frac{{\text{d}}^{\mathit{k}}}{\text{d}{\mathit{x}}^{\mathit{k}}}[{\mathit{L}}_{\mathit{n}+\mathit{k}}(\mathit{x})]$$

definiert sind.