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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Laguerre´sche Differenzialgleichung

Die Laguerre´sche Differenzialgleichung lautet

x y ' ' + ( 1 - x ) y ' + a y = 0 , a = beliebige reelle Zahl .

Sie wird unter Verwendung eines Potenzreihenansatzes gelöst. Ist a eine ganze Zahl a = 0 , 1 , 2 , , so sind die Lösungen die Laguerre´schen Polynome

y ( x ) = L n ( x ) n = 0 , 1 , 2 , ,

wobei

L 0 ( x ) = 1 , L 1 ( x ) = - x + 2 , L 2 ( x ) = x 2 - 4 x + 2 , .

Die Laguerre´schen Polynome lassen sich durch folgende Formel erzeugen

L n ( x ) = exp ( x ) d n d x n [ x n exp ( - x ) ] .

In der quantenmechanischen Beschreibung des Wasserstoff-Atoms werden die zugeordneten Laguerre´schen Polynome benötigt, die durch

L n k ( x ) = ( -1 ) k d k d x k [ L n + k ( x ) ]

definiert sind.

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