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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Hermite´sche Differenzialgleichung

Die Hermite´sche Differenzialgleichung lautet

y ' ' - 2 x y ' + 2 α y = 0 , α  ist eine beliebige reelle Zahl .

Sie wird unter Verwendung eines Potenzreihenansatzes gelöst. Der Spezialfall α = 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , wird bei der quantenmechanischen Analyse des harmonischen Oszillators herangezogen. Hierbei werden die Lösungen angegeben durch die Hermite´schen Polynome

y ( x ) = H n ( x ) n = 0 , 1 , 2 , ,

mit

H 0 ( x ) = 1 , H 1 ( x ) = 2 x , H 2 ( x ) = 4 x 2 - 2 ,

Die Hermite´schen Polynome lassen sich durch folgende Formel erzeugen:

H n ( x ) = ( -1 ) n exp ( x 2 ) d n d x n exp ( x 2 ) .
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