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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Bessel´sche Differenzialgleichung

Die Bessel´sche Differenzialgleichung lautet:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - n 2 y = 0 , n ist eine beliebige reelle Zahl .

Sie kommt zum Einsatz bei der Lösung der Differenzialgleichung von Plattenschwingungen sowie bei anderen Problemen mit Zylindersymmetrie. Da x = 0 eine außerordentlich singuläre Stelle ist, kann man dort eine Potenzreihe als Lösung entwickeln:

y ( x ) = k = 0 a k x k + s .

Die erste und zweite Ableitung von y sind

y ' ( x ) = k = 0 ( k + s ) a k x k + s - 1 , y ' ' ( x ) = k = 0 ( k + s ) ( k + s - 1 ) a k x k + s - 2 .

Nach Substitution in die Differenzialgleichung erhalten wir

k = 0 ( k + s ) ( k + s - 1 ) a k x k + s + ( k + s ) a k x k + s + a k x k + s + 2 - a k n 2 x k + s = 0.

Setzt man k = 0 , so erhält man

a 0 s ( s - 1 ) + s - n 2 = 0.

Da a 0 0 , folgt die Indexgleichung

s 2 - n 2 = 0 s = ± n .

Der Koeffizient von x 1 + s ist

a 1 ( s + 1 ) s + s + 1 - n 2 = a 1 ( s + 1 - n ) ( s + 1 + n ) = 0.

Für s = ± n ergibt sich daraus a 1 = 0 , da weder ( s + 1 - n ) noch ( s + 1 + n ) null ist. Setzen wir s = n , dann erhält man unter der Bedingung, dass der Koeffizient von x k + n verschwindet:

a k ( k + n ) ( k + n - 1 ) + ( k + n ) - n 2 + a k -2 = 0

oder

a k +2 = - a k 1 ( k + 2 ) ( 2 n + k + 2 ) ,

wobei k durch k + 2 ersetzt wurde. Diese Rekursionsformel ergibt:

a 2 k = ( -1 ) k a 0 n ! 2 2 k k ! ( n + k ) ! k = 1 , 2 , 3 ,

mit a 1 = a 3 = = 0 . Eine Lösung der Bessel´schen Differenzialgleichung ist dann

y ( x ) = a 0 k = 0 ( -1 ) k n ! x n +2 k 2 2 k k ! ( n + k ) ! = a 0 2 n n ! J n ( x ) ,

wobei die Besselfunktionen erster Art J n ( x ) durch

J n ( x ) = k = 0 ( -1 ) k 1 k ! ( n + k ) ! x 2 n +2 k

definiert sind.

Wenn s = - n und n keine ganze Zahl ist, dann kann man eine zweite linear-unabhängige Lösung J - n ( x ) ermitteln. Ist dagegen n eine ganze Zahl, dann liefert die Rekursionsformel keine zweite linear-unabhängige Lösung.

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