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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Zugeordnete Legendre´sche Differenzialgleichung

Die zugeordnete Legendre´sche Differenzialgleichung

( 1 - x 2 ) y ' ' - 2 x y ' + l ( l + 1 ) - m 2 1 - x 2 y = 0 l = ganze Zahl , - l m l

spielt in der Atomphysik im Zusammenhang der mit Kugelsymmetrie eine große Rolle. Ihre partikuläre Lösungen werden als die zugeordneten Legendre´schen Polynome P l m ( x ) bezeichnet:

P l m ( x ) = ( 1 - x 2 ) m / 2 d m d x m P l ( x ) .

Für negative m gilt diese Formel nicht, doch nach Substitution der Rodrigues- Formel für die Legendre´schen Polynome ergibt sich:

P l m ( x ) = 1 2 l l ! ( 1 - x 2 ) m / 2 d l + m d x l + m ( x 2 - 1 ) l .
Abb.1
Zugeordnete Legendre´sche Polynome

Die so genannten Kugelfunktionen sind durch die zugeordneten Legendre´schen Polynome definiert:

Y l m ( θ , φ ) = ( -1 ) m ( 2 l + 1 ) 4 π ( l - m ) ! ( l + m ) ! 1 / 2 P l m ( cos θ ) e i m φ .
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