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Spezielle lineare Differenzialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten

Legendre´´sche Differenzialgleichung

Die Legendresche Differenzialgleichung lautet:

y ' ' - 2 x 1 - x 2 y ' + l l + 1 1 - x 2 y = 0 , l = beliebige reelle Zahl .

Sie kommt in Physik und Chemie häufig vor. Da die Koeffizienten p 1 ( x ) = 2 x / ( 1 - x 2 ) und p 0 ( x ) = l ( l + 1 ) / ( 1 - x 2 ) für x = 0 regulär sind, existiert eine eindeutige Lösung in dem Bereich um x = 0 . Für x = ± 1 sind p 0 ( x ) und p 1 ( x ) singulär; deshalb gilt der Potenzreihenansatz um x = 0

y ( x ) = k = 0 a k x k .

Die Reihe konvergiert mindestens für | x | < 1 . Nach Substitution ergibt sich eine Rekursionsformel zur Bestimmung der a k

a k + 2 = a k k k + 1 - l l + 1 k + 2 k + 1 k = 0 , 1 , 2 , a 0 , a 1 frei wählbar .

Die allgemeine Lösung lässt sich wie folgt schreiben:

y ( x ) = a 0 F ( x ) + a 1 G ( x ) ,

wobei F ( x ) nur gerade Potenzen von x und G ( x ) nur ungerade Potenzen von x enthält.

Wir betrachten nun den Sonderfall, dass l eine ganze Zahl ist. Bei einer bestimmten Wahl der Konstanten a 0 und a 1 erhält man keine unendliche Reihe, sondern ein Polynom l -ten Grades

l gerade Zahl 0 , 2 , 4 , man wählt a 0 beliebig, a 1 = 0 l ungerade Zahl 1 , 3 , 5 , man wählt a 1 beliebig, a 0 = 0.

Die Polynome P l ( x ) werden als Legendre´sche Polynome bezeichnet. Nach Konvention wählt man a 0 oder a 1 für jedes l so, dass P l ( 1 ) = 1 :

Abb.1
Legendre´sche Polynome
P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x , P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 - 1 ) ,

Allgemein

P l ( x ) = 1 2 l k = 0 L ( -1 ) k ( 2 l - 2 k ) ! k ! ( l - 2 k ) ! ( l - k ) ! x l - 2 k L = l 2 l = 0 , 2 , 4 , l - 1 2 l = 1 , 3 , 5 , .

Dafür kann man auch schreiben:

P l ( x ) = 1 2 l l ! d l d x l ( x 2 - 1 ) l .

Dies ist eine so genannte Rodrigues-Formel. Es gilt

-1 +1 P j ( x ) P k ( x ) d x = 2 2 l + 1 j = k 0 j k

d.h. die Legendre´schen Polynome sind orthogonal auf dem Intervall [ -1 , 1 ] .

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